Houdini-truc met origamiwiskunde

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad, 29 november 2008 en in De Standaard, 24 december 2008

Wanneer de verslaggever binnenkomt in de tijdelijke Brusselse werkkamer van wiskundige en computerwetenschapper Erik Demaine, staan vader Martin en zoon Erik toevallig naast elkaar. Als twee druppels water lijken ze op elkaar. Dezelfde bril, dezelfde baard, dezelfde, in een paardenstaart gebonden lange haren. Een bijzonder duo. Vader Martin – glasblazer, zilversmid en beeldend kunstenaar – gaf zijn zoon vanaf zijn zevende vier jaar lang zelf les. Zonder schoolopleiding werd Erik op zijn twaalfde toegelaten tot de Dalhousie University in het Canadese Halifax. Op volle snelheid stoomde hij door, en al voor zijn twintigste werd hij een leidende wiskundige in de origamiwiskunde. Ook nu nog werken vader en zoon nauw samen. Vader vooral met zijn praktische kennis en kunstzinnige ideeën, zoon vooral met zijn kennis van de wiskunde en van computeralgoritmen. Een verhaal over kunst die wiskunde inspireert, en andersom.

Je hebt geen school doorlopen, maar bent door je vader geschoold. Hoe ging dat?
“Tussen mijn zevende en mijn twaalfde reisde ik met mijn vader langs de oostkust van de VS. Af en toe bleven we wat langer op een plaats, en dan ging ik soms een week naar school om te kijken hoe het ging. Maar verreweg de meeste tijd onderwees mijn vader me. We moesten er allebei in het begin wel aan wennen. Hij moest omschakelen van ‘vader-Martin’ naar ‘leraar-Martin’. Soms liep ik eerst een blokje om zodat we allebei tijd hadden voor die omschakeling. Zo’n thuisscholing werkt zoveel efficiënter dan naar school gaan. Ik heb er veel profijt van.”

Hoe ontstond je interesse voor wiskunde en computerwetenschap?
“Ik speelde als kind veel videogames. Toen ik zeven was, vroeg ik aan mijn vader: ‘hoe maken mensen zo’n videogame?’ Mijn vader wist het ook niet, maar zocht boeken die ons dat konden leren. Samen schreven we ons eerste simpele avonturenspel in de programmeertaal BASIC. We gingen steeds verder en leerden andere programmeertalen. Op een gegeven moment zei mijn vader dat als ik echt goed wilde leren programmeren, ik ook wiskunde moest leren. Hij kocht weer wat boeken, en zo begon ik met wiskunde. Daarnaast legde hij veel nadruk op het praten met mensen van alle leeftijden, niet alleen met kinderen van mijn eigen leeftijd.”

Hoe belandde je zo jong op de universiteit?
“Toen ik twaalf was, kreeg mijn vader het voor elkaar dat ik om te proberen colleges computerwetenschappen mocht volgen aan de universiteit. Het ging goed, en ik mocht als student komen. Ik volgde zoveel colleges als ik aankon en als een spons zoog ik alles op. Op die leeftijd kun je zoveel tegelijk doen! Ik had geluk dat ik zo vroeg naar de universiteit kon. Het leeftijdsverschil maakte niets uit. De andere studenten deden normaal tegen me, en ik werd ook op hun feestjes uitgenodigd. Ik denk echt dat meer studenten dit moeten en kunnen doen. Alles wat je nodig hebt, is de passie om nieuwe dingen te leren.”

Hoe ben je in de origamiwiskunde verzeild geraakt?
“Ik hou van wiskunde, maar als student computerwetenschappen wist ik niet wat ik ermee wilde doen. Tot het moment dat ik me realiseerde dat ik in de computationele geometrie wiskunde kon combineren met computeralgoritmen. Ik hou erg van het visuele aspect van geometrische figuren. Je kunt tastbare modellen maken en met die vormen spelen. En je kunt het ook uitleggen aan mensen die geen wiskunde kennen. Gewoon door vormen te laten zien. Toevallig hoorde ik een keer over het werk van de Amerikaanse natuurkundige en origamikunstenaar Robert Lang in de computationele origami: rekenmethoden om nieuwe origamivormen te vouwen. Dat klonk cool. Ik dacht: ‘misschien zijn er andere onopgeloste problemen waaraan ik kan werken.’ En zo ben ik begonnen.”

Waarover gaat origamiwiskunde?
“In de origamiwiskunde proberen we te begrijpen hoe je van een vlak stuk papier een willekeurig driedimensionaal object kunt vouwen: een kikker, een mens of een abstracte, geometrische figuur. Het kan alles zijn. Je werkt in drie dimensies, maar je vouwt een tweedimensionaal oppervlak. De ultieme uitdaging is om een rekenmethode te vinden die je vertelt hoe je op de beste manier een willekeurige driedimensionale structuur kunt vouwen. En ‘beste’ betekent zoiets als met zo min mogelijke vouwen en een zo klein mogelijk stuk papier. Daaraan werk ik samen met mijn vader en Robert Lang. Ik vermoed dat het niet mogelijk is om altijd de beste manier van vouwen te vinden. Maar ik denk dat we wel op weg zijn om een rekenmethode te vinden die dicht daarbij in de buurt komt.”

Hoe lastig zijn origamiproblemen?
“Ze zien er misschien gemakkelijk uit, maar ze zijn wiskundig vaak buitengewoon uitdagend. Neem het ‘vouw-en-knip’-probleem, het eerste origamiprobleem waaraan ik in 1996 met mijn vader begon. Het idee is als volgt. Je neemt een stuk papier en vouwt het zo vaak als je wilt en hoe je maar wilt. De enige voorwaarde is dat je na elke vouw nog steeds een plat stuk papier moet hebben. Dan knip je het gevouwen stuk papier op een willekeurige plek door zodat er ogenschijnlijk twee helften overblijven. Die twee helften trek je uit elkaar. Meestal krijg je zo niet twee, maar meer dan twee stukken. Het zijn allemaal veelhoeken: stukjes met drie, vier of meer hoeken. De beroemde goochelaar Harry Houdini gebruikte dit principe voor een van zijn goocheltrucs. Hij toverde het publiek met vouwen en één knip een vijfpuntige ster voor. In 1921 publiceerde hij het boek ‘Paper Magic’ met meer van dit soort voorbeelden. Later vroeg de Amerikaanse wiskundepopularisator Martin Gardner zich af welke vormen je op deze manier wel of niet kunt maken.”

En?
“Die vraag inspireerde ons, en na twee jaar puzzelen vonden we in 1998 een wiskundige oplossing. Het antwoord had niemand verwacht. In principe kun je willekeurig welke gehoekte vorm krijgen! Of het nu een zwaan is, een stripfiguur of je initialen. We vonden de rekenmethode die je vertelt met welke vouwen en welke knip je zo’n vorm kunt maken. Werken aan origamiproblemen is big fun, maar ook uitdagend voor wiskundigen en computerwetenschappers.”

Kun je het ook toepassen buiten de origamikunst?
“Origamiwiskunde kun je toepassen op alle terreinen die met vouwen te maken hebben: bijvoorbeeld bij het vouwen van robotarmen in de robotica, maar ook in de architectuur, de beeldende kunst en bij computergraphics. Ik weet ook dat sommige bedrijven met origamirekenmethoden onderzoeken hoe ze airbags veiliger kunnen maken. Levert de airbag een betere bescherming als je hem op een slimmere manier opvouwt, waardoor hij zich bij een ongeluk beter ontvouwt, is dan de vraag. En origamikunstenaar Robert Lang werkt aan een opvouwbare telescooplens. In de ruimte moet je de lens kunnen uitvouwen tot een vlak van honderd meter in diameter, maar opgevouwen in een ruimteschip wil je een pakje van niet meer dan tien meter breed overhouden. Hoe doe je dat op de handigste manier?”

Aan welk concreet praktisch probleem werk je zelf?
“Dat is het probleem van de eiwitvouwing. Misschien wel de belangrijkste mogelijke toepassing, hoewel we daar nog voor een onopgelost probleem staan. Onze genen vertellen welke eiwitten cellen moeten aanmaken. Eiwitten zijn de werkpaarden van het lichaam. Ze zijn op een bepaalde manier gevouwen, en die manier bepaalt voor een groot gedeelte hun functie. Maar we weten voor veel eiwitten niet hoe ze zijn gevouwen. Als we dat wel weten, dan kunnen we die kennis gebruiken om geneesmiddelen te maken. Bij allerlei ziekten gaat de eiwitvouwing verkeerd, en geneesmiddelen kunnen dat met speciaal ontworpen eiwitten repareren. In plaats van gewoon maar te proberen of een middel werkt, kunnen we dan van te voren bedenken welke stof wel of niet als geneesmiddel kan werken.”

Wat kan de origamiwiskunde toevoegen aan het werk dat biologen, natuurkundigen en scheikundigen al aan eiwitvouwing doen?
“Vanuit natuurwetenschappelijk perspectief is het vouwproces nog grotendeels een mysterie. Wij schuiven dat perspectief tijdelijk aan de kant en stellen simpelweg de vraag op welke mogelijke manieren je de ene eiwitvorm tot de andere kunt vouwen. Wiskundig gezien is dat een soort eendimensionale origami. De vraag is of we een rekenmethode kunnen vinden voor de handigste manier van eiwitvouwing. Welk natuurwetenschappelijk principe de vouwing ook bepaalt, op enig niveau kun je het als een rekenmethode beschouwen. We hopen dat als we die wiskundige rekenmethode hebben gevonden, zij ons automatisch ook inzicht geeft in de natuur- en scheikundige principes die bepalen hoe een eiwit zich vouwt. Vaak heeft de natuur een efficiënt principe ontwikkeld, en ik hoop dat we dat met origamiwiskunde kunnen vinden.”

Maak je in je abstracte, wiskundige werk gebruik van de origamipraktijk, of zijn dat twee gescheiden werelden?
“Mijn vader en ik experimenteren veel bij het oplossen van een wiskundig origamiprobleem. Het met je handen vouwen van een origamiobject vormt je intuïtie voor wat wel en niet mogelijk is; voor waar je een bepaalde vouw moet maken om later een bepaalde structuur aan het driedimensionale object te geven. Het is alsof je je hoofd door het vouwen voedt met een grote experimentele database. Die database gebruik je bij het oplossen van de wiskundige puzzel. Trouwens, alle bekende origamiontwerpers gebruiken enige vorm van origamiwiskunde. Alleen laten zij geen computer rekenen, maar doen ze de berekening onbewust in hun hoofd, op een intuïtieve manier.”

Je laat je inspireren door vormen en structuren die je om je heen ziet. Je werkt nauw samen met je vader, die beeldend kunstenaar is. Wat is voor jou de relatie tussen wetenschap en kunst?
“Voor mijn vader en mij komen beeldende kunst en wetenschap steeds dichter bij elkaar. Voor mij lijkt de esthetica van de wiskunde sterk op die van de kunst. Wij begonnen ons werk aan origamiproblemen vanuit wetenschappelijke nieuwsgierigheid. Soms vinden we ineens prachtige vormen, leggen de wetenschap een tijdje aan de kant en beginnen die vormen vanuit kunstzinnig perspectief verder te verkennen. Wij springen heen en weer tussen kunst en wetenschap. Dat geeft veel flexibiliteit. Als je wetenschappelijk een tijd geen vooruitgang boekt, kun je je meer met de kunst bezighouden, en andersom. Drie van onze origamivormen staan nu in de permanente collectie van het Museum of Modern Art in New York. Het zijn trouwens vormen die we wiskundig nog niet helemaal begrijpen.”



Jullie werken ook aan een ‘schaduwwand’. Wat is dat?
“De ‘schaduwwand’ is een prachtig project waarin kunst en wetenschap samenkomen. Het is een idee van mijn vader. We werken er nu samen aan, maar hebben nog geen oplossing gevonden. We hebben wel al een sponsor om het ook echt te bouwen, zodra we een wiskundige oplossing hebben gevonden. We willen ergens op een zonnige locatie in de grond een grote wand neerzetten. Uit die wand steken stenen of stokken, of wat dan ook. De zon tekent een schaduw van de uitsteeksels op de wand. De vraag is nu hoe je de uitsteeksels moet plaatsen zodat de zon in de ochtend de schaduw van een kleine jongen maakt, en dat die schaduw tegen zonsondergang verandert in het silhouet van een oude man. Om dat voor elkaar te krijgen moet je de wiskunde achter de schaduwvorming begrijpen. Dit is geen origamiprobleem, maar wel een geometrieprobleem. Veel van de problemen die ik wiskundig probeer op te lossen lijken als je ze in de praktijk brengt op goocheltrucs. Wiskunde die raakt aan kunst en goochelen, daar hou ik van.”

Hoe kies je je onderzoeksvragen?
“Aan het begin van mijn loopbaan zeiden mensen vaak tegen me dat ik te veel recreatiewiskunde deed. Wel fun, maar te weinig serieuze wiskunde. Ik heb alle commentaren en adviezen genegeerd en alleen maar gewerkt aan problemen die me echt aanspraken en die inderdaad fun waren. Het feit dat MIT me meteen na mijn promotie in 2000 een baan aanbood, en het feit dat ik in 2003 de MacArthur Fellowship won, hebben me gelukkig in mijn eigenwijsheid bevestigd. Maar ja, in het begin wist ik inderdaad niet of ik wel de juiste keuze had gemaakt.

“Ik hou ervan om van de gebaande paden af te wijken. Dat heb ik – geloof ik – ook wel van mijn vader meegekregen. Ik zoek altijd naar hele basale problemen, waar nog niemand aan heeft gedacht, maar die toch uitdagend zijn. Zoals de vraag of je met een stuk papier elke veelhoekige driedimensionale vorm kunt vouwen. Natuurlijk wil je op die vraag graag het antwoord weten!”

En wat is het antwoord?
“Ja, ik heb bewezen dat dat kan, als het stuk papier groot genoeg mag worden. Ik voel dat als je aan zulke basale problemen werkt, er altijd wel een moment komt waarop het wiskundige werk toepassingen krijgt in de wereld om ons heen. Het is moeilijk te voorspellen wanneer dat is en welke toepassing het werk krijgt, maar het prachtige van wetenschap in het algemeen en wiskunde in het bijzonder is dat fundamenteel werk vaak op een onverwachte manier in de praktijk toepassingen krijgt.”


Kort profiel:
Dr. Erik Demaine (27) is een Amerikaans-Canadese wiskundige en computerwetenschapper van het Massachusetts Institute of Technology (MIT) in de VS. Hij is een van de leidende wiskundigen op het terrein van de origamiwiskunde: de wiskunde van het vouwen. Op zijn twaalfde ging hij – zonder schoolopleiding, maar alleen onderwezen door zijn vader – naar de Dalhousie University in het Canadese Halifax. Twee jaar later haalde hij daar zijn bachelordiploma. Op zijn zestiende haalde Demaine zijn masterdiploma aan de University of Waterloo en op zijn twintigste promoveerde hij aan die universiteit. Nog in hetzelfde jaar werd hij aangesteld als assistent professor aan het Massachusetts Institute of Technology (VS), als jongste ooit. In 2003 won hij de prestigieuze MacArthur Fellowship – ook wel ‘Genius Award’ genoemd – van een half miljoen dollar. Sinds 1 november 2008 bekleedt hij voor een half jaar de International Francqui Chair als gast van de Université Libre de Bruxelles (ULB). Vader Martin Demaine is als artist-in-residence en onderzoeker ook verbonden aan MIT.

Achtergrondinformatie: Origamiwiskunde

Origami is gebaseerd op het vouwen van papier. Hoewel het als van oorsprong Japanse kunstvorm al eeuwen bestaat, is origamiwiskunde iets van de laatste drie decennia. Hoe je een stuk papier moet vouwen om een bepaald patroon te maken, wordt in de praktijk aangegeven door de ‘blauwdruk’: een patroon van getrokken lijnen op het ongevouwen, vlakke stuk papier. Eén type lijn (– – – – – ) zegt dat je het papier daar naar binnen moet vouwen (een dalvouw), en een ander type lijn (–∙∙–∙∙–∙∙–∙∙–) zegt dat je daar naar buiten moet vouwen (een bergvouw). Origamiwiskunde beschrijft de origamispelregels op een formele manier, en ontdekt wat er wel en niet mogelijk is.

Origami voldoet aan vier eenvoudige wiskundige spelregels. De eerste regel zegt dat je alle vlakjes van de blauwdruk met twee kleuren kunt inkleuren zonder dat twee aangrenzende vlakjes dezelfde kleur krijgen. Volgens de tweede regel verschilt het aantal ‘bergvouwen’ en het aantal ‘dalvouwen’ in een willekeurig punt waarin vouwen samenkomen (technisch heet dat een ‘interne vertex’) altijd het aantal 2. De derde regel gaat over de hoeken van de stukjes die rondom een interne vertex liggen. Als je om een vertex heen wandelt, en die hoeken nummert als 1, 2, 3…, dan geldt dat de som van alle oneven genummerde hoeken (1, 3, 5…) gelijk is aan 180 graden. Hetzelfde geldt voor de som van alle even hoeken (2, 4, 6…). De vierde regel zegt dat je het papier nergens door zichzelf mag steken. Het blijkt dat deze eenvoudige vier basisregels een ongelofelijke hoeveelheid origamipatronen opleveren.

Verder heeft de Franse wiskundige Jacques Justin in 1989, en onafhankelijk van hem de Italiaans-Japanse wiskundige Humiaki Huzita in 1992, zes axioma’s opgesteld, die je kunt beschouwen als de fundamentele operaties die je bij het vouwen op een punt of op een lijn op het origamipapier kunt uitvoeren. Zo zegt bijvoorbeeld axioma 6: “Gegeven twee punten p1 en p2, en twee lijnen l1 en l2, dan kunnen we een vouw maken die punt p1 op lijn l1 plaatst en p2 op l2”

Koshiro Hatori ontdekte in 2002 dat er nog een zevende axioma bestaat. Vervolgens bewees Robert Lang dat deze verzameling van zeven axioma’s de volledige lijst van axioma’s is in de origamiwiskunde. De wiskundige benadering van origami, gebaseerd op de vier basisspelregels en de zeven axioma’s, heeft geleid tot nieuwe ontwerpen en nieuwe ontdekkingen in de origamiwiskunde, onder andere door Erik Demaine.

Internet
Homepage van Erik Demaine: http://www.erikdemaine.org/
Homepage van Robert Lang: http://www.langorigami.com/
Videopresentatie van Robert Lang over origami en origamiwiskunde: www.ted.com/index.php/talks/robert_lang_folds_way_new_origami.html
Vouwschema’s om zelf een serie bekende origamimodellen te vouwen: http://www.origamiwithrachelkatz.com/folding/folding.htm
Uitleg van eenvoudige origamiwiskunde: http://kahuna.merrimack.edu/~thull/combgeom/flatfold/flat.html http://mathworld.wolfram.com/Origami.html