Boeken

Wednesday, August 18, 2010

Sanskrietverzen zingen de wiskunde

Dit artikel is gepubliceerd in NWO Hypothese van augustus 2010


Het boek Mathematics in India plaatst de traditionele Indiase wiskunde voor het eerst ten volle in een culturele context van kalenderproblemen, astrologie en heilige altaren.

“De wijze koning wiens leger verslagen is, verzamelt de beste raadgevers om zich heen en blijft in alles standvastig; dan verslaat hij de koning wiens leger nog niet vernietigd is...”

Nee, dit is niet het begin van een Grieks of Romeins epos. Dit is het begin van een Indiaas vers dat een wiskundige berekening beschrijft. Het bezingt hoe je de sinus van een hoek kunt berekenen, in de moderne wiskunde de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde. Het werd in het 15e eeuwse India geschreven in het Sanskriet, de heilige taal van de Indiërs. Nog vóór westerse wiskundigen dit ontdekten, wisten de Indiërs dat je de sinus van een hoek kunt uitdrukken als een oneindig lange optelsom van steeds kleiner wordende termen. Het vers codeert in letters vijf ingewikkelde getallen die je nodig hebt om de sinus via zo’n optelsom te benaderen.

“Wij beschouwen onze westerse vorm van wiskunde als vanzelfsprekend, maar dat is hij niet”, zegt Jan Hogendijk, hoogleraar geschiedenis van de wiskunde aan de Universiteit Utrecht. En de Indiase verzen illustreren dat prachtig. “De Indiërs hadden een sterk orale traditie. Verzen zijn gemakkelijk te onthouden, veel gemakkelijker dan bijvoorbeeld een reeks ingewikkelde getallen. Ze werden van meester op leerling doorverteld. Wiskundeverzen gaan heel anders met wiskundeproblemen om dan wij op school leren. De traditionele Indiase wiskunde was meer associatief dan de onze. Ze kende niet de formele vorm van ‘stelling-bewijs’ waarmee de Grieken de westerse wiskunde hebben doordrenkt.”

Rituelen
Maar zelfs al kun je Sanskriet lezen, hoe herken je zo’n vers als wiskunde? Daarvoor moet je behalve over een flinke Sanskrietkennis, ook over flink veel kennis beschikken van de Indiase culturele geschiedenis en van de wiskunde. De Amerikaanse wiskundige en Indologe Kim Plofker heeft precies die academische achtergrond. Hogendijk trok haar daarom aan om tussen 2004 en 2006 in het NWO-project MATHINDI een synthese te schrijven van de bestaande literatuur en haar eigen onderzoek aan Sanskrietteksten. Het project mondde vorig jaar uit in het kloeke academische boek Mathematics in India, dat internationaal wordt gezien als een belangrijke aanvulling op de overwegend Eurocentrische geschiedschrijving van de wiskunde.

Plofker bestudeerde de periode 500 v.Chr. tot 1800 n.Chr.. “Vrijwel alles wat tot voor kort over de Indiase wiskunde uit die tijd is geschreven”, zegt Hogendijk, “liet alleen zien welke wiskunde er werd gebruikt, maar nauwelijks in welke culturele context. Plofker heeft de Indiase wiskunde juist ten volle in haar culturele context bestudeerd.”

Die context werd vooral gevormd door de sterrenkunde. Voor het uitvoeren van religieuze rituelen moesten de Indiërs berekenen wanneer in het kalenderjaar het juiste moment was aangebroken. Daarnaast gebruikten ze de wiskunde in de astrologie, om uit de beweging van de planeten iets te zeggen over het aardse leven. En voor het ontwerpen van heilige altaren met ingewikkelde geometrische patronen hadden ze de meetkunde nodig.

De belangrijkste Indiase bijdrage aan de wiskunde is het tientallig positiestelsel. Iedereen ter wereld komt het dagelijks tegen. Hogendijk: “Blindelings drukken we getallen uit in combinaties van de tien symbolen 0, 1, ....9. De Indiërs introduceerden dit handige systeem tussen 0 en 500 n.Chr.. Tientallige rekenstelsels werden weliswaar al eerder gebruikt, maar altijd met nieuwe symbolen voor de tientallen, en geen combinaties zoals 10, 20, enz. van de symbolen 0 tot en met 9. Het Indiase systeem is uiteindelijk in de praktijk superieur gebleken aan alle andere systemen. Maar dat werd pas in de 15e eeuw in Italië duidelijk.”

Een tweede belangrijke, nog steeds gebruikte bijdrage van de Indiase wiskunde uit die tijd is de introductie van de sinus en cosinus. Deze begrippen spelen een belangrijke rol in de tak van de wiskunde die zich bezig houdt met driehoeksmetingen. De Indiërs maakten er een kunst op zich van om het rekenen met sinussen en cosinussen in verzen uit de drukken.

Wiskunde voor de lol
Uit Plofkers studie blijkt ook dat de Indiërs zich bezig hielden met wiskundeproblemen voor de lol, waarvan ze geen enkele toepassing kenden. Hogendijk: “Een beroemd voorbeeld is het raadsel om twee kwadraten te vinden, die wij nu x^2 en y^2 zouden noemen, zodanig dat ‘61 maal het ene plus een gelijk is aan het andere’: 61x^2 + 1 = y^2. In de 12e eeuw vond Bhaskara met een slimme methode de oplossing x = 226.153.980 en y = 1.766.319.049. Dit blijkt de kleinste geheeltallige oplossing te zijn.”


Bladzijde uit het Arabische manuscript Leiden, Or. 168 (11e eeuw), een van de oudste bewaarde documenten uit de Islamitische wereld waarin het tientallige positiestelsel wordt gebruikt.


Plofker bestudeerde ten slotte ook nog de invloed die de Indiase wiskunde heeft gehad op de Arabische wiskunde. Hogendijk: “De Indiase wiskunde kwam via uitwisseling met Iran in de Arabische wereld terecht. De Arabieren namen bijvoorbeeld het tientallig positiesysteem van de Indiërs over. Vervolgens creëerden zij hun eigen mengeling van Griekse en Indiase wiskunde. Zo kenden de Indiërs bijvoorbeeld een methode om de oppervlakte te berekenen van een vierhoek waarvan de hoekpunten precies door een cirkel omschreven worden. Die methode werd ook weer in versvorm uitgelegd. Maar de Arabieren waren meer gecharmeerd van de formele cultuur van ‘stelling-bewijs’ die ze van de Grieken kenden. Daarom verzonnen ze voor dezelfde methode een geniaal formeel bewijs.”

Na 1800 werd de invloed van de Engelse overheersing van India zo groot dat de traditionele Indiase wiskunde langzaam vervangen werd door de formelere westerse wiskunde. Zonder leraren om uit te leggen hoe je de wiskundeverzen moest lezen, bleek die traditie ten dode opgeschreven. Plofkers studie vult een grote lacune in ons begrip van de traditionele Indiase wiskunde op, ontmaskert mythen over de uniciteit en superioriteit van enkele Indiase wiskundige bijdragen, maar laat vooral ook zien hoe wiskunde diep geworteld kan zijn in de cultuur van een gebied.

Boek
Mathematics in India, Kim Plofker. Princeton University Press (2009)