Boeken

Saturday, May 8, 2010

Wanordelijke stapeling van viervlakken vult ruimtes beter op dan bollen

Credit: Alex Jaoshvili, NYU

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad, 8 mei 2010

De efficiëntste stapeling van bolvormige voorwerpen vult de ruimte voor 74%. Stapel je de bollen niet netjes op elkaar, maar gooi je ze willekeurig in een container, dan vullen ze de ruimte nog maar voor maximaal 64%. Willekeurig gestapelde M&M’s halen 68%, zo bleek bij een experiment in 2004. In een soortgelijk experiment hebben natuurkundigen van New York University en Virginia Tech nu experimenteel aangetoond dat willekeurig gestapelde viervlakken (piramidevormig) de ruimte verrassenderwijs twee procent beter vullen dan zelfs de efficiëntste bolstapeling: 76% (Physical Review Letters, 3 mei).

De Amerikaanse onderzoekers maakten duizend identieke viervlakken (tetraëders), met licht afgeronde hoekjes. Ze gooiden deze willekeurig in containers van diverse groottes. Onder af en toe schudden voegden ze viervlakken toe tot ze op waren. De vulgraad bepaalden ze door te meten hoeveel vloeistof ze aan een met viervlakken gevulde container konden toevoegen. De vloeistof gaat immers alle lege ruimte tussen de viervlakken opvullen. Bovendien maakten ze MRI-scans om op elk punt in de container te kunnen kijken hoe de viervlakken op en tegen elkaar aan liggen en om de rangschikking tot in detail te analyseren. Ze bepaalden de maximale vulgraad van grote containers, waarin de wandeffecten minimaal zijn, op (76 ± 2)%.

Hoe eenvoudig het vulgraadprobleem ook lijkt, tot twee jaar geleden was niet eens bekend of willekeurig gestapelde viervlakken de ruimte efficiënter vullen dan bollen. In de afgelopen twee jaar hadden numerieke simulaties wel al laten zien dat willekeurig gestapelde viervlakken in theorie de ruimte voor 78% moesten kunnen vullen. Voor het eerst is dit nu ook experimenteel aangetoond.

Ingekleurde MRI-scan, Credit: Alex Jaoshvili, NYU

Het vulgraadprobleem van vaste voorwerpen is een oud probleem waarvan nog verrassend veel onbekend is. In 1611 had Johannes Kepler het vermoeden uitgesproken dat de bolstapeling die zo min mogelijk lege ruimte tussen de bollen overlaat, de ruimte voor π/√18 vult (ongeveer 74%). Het zou echter tot 1998 duren eer Thomas Hales het vermoeden van Kepler wiskundig bewees. Hij had er een computerprogramma van meer dan veertigduizend regels voor nodig.

Toch weet nog steeds niemand wat de efficiëntste manier is om niet-bolvormige deeltjes, die de ruimte niet al van zichzelf geheel opvullen (zoals kubussen), te stapelen. Kan het nog efficiënter dan met de piramidevormige viervlakjes van de Amerikanen?