Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van zaterdag 16 april 2011
“De wijze koning wiens leger verslagen is, verzamelt de beste raadgevers om zich heen en blijft in alles standvastig; dan verslaat hij de koning wiens leger nog niet vernietigd is...”
Nee, dit is niet het begin van een Grieks of Romeins epos, maar van een Indiaas metrisch vers dat een wiskundige berekening beschrijft. Het vers bezingt hoe je de sinus van een hoek kunt berekenen (de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde). Het werd in het 15e eeuwse India geschreven in het Sanskriet, de heilige taal van de Indiërs.
Nog vóór westerse wiskundigen dit ontdekten, wisten Indiase wiskundigen dat je de sinus van een hoek kunt uitdrukken als een oneindig lange optelsom van steeds kleiner wordende termen. Hoe meer termen je meeneemt, hoe preciezer je de sinus berekent. “Het is een prachtig vers”, zegt de Amerikaanse wiskundige en wetenschapshistorica Kim Plofker. “Het vertelt hoe je de eerste vijf termen van die reeks berekent.”
Plofker is gespecialiseerd in de traditionele Indiase wiskunde zoals die werd bedreven tussen ongeveer 1200 v.Chr. en 1800 n.Chr. in een gebied dat niet alleen het huidige India omvat, maar ook het huidige Pakistan, Nepal, Sri Lanka en een deel van Afghanistan. Na 1800 werd de invloed van de Engelse overheersing van India zo groot dat de traditionele Indiase wiskunde langzaam vervangen werd door de formelere westerse wiskunde. Terwijl wij gewend zijn om de wiskunde te zien als iets wat onafhankelijk is van cultuur, politiek en religie, laat de geschiedenis van de traditionele Indiase wiskunde zien hoe nauw verweven cultuur en wiskundige ontwikkeling kunnen zijn.
Afgelopen donderdag 14 april nam Plofker de Brouwerprijs 2011 in ontvangst tijdens het Nederlands Mathematisch Congres aan de Universiteit Twente. De Brouwerprijs is een prestigieuze Nederlandse wiskundeprijs vernoemd naar een van de bekendste Nederlandse wiskundigen: L.E.J. Brouwer (1881-1966). Sinds 1970 wordt hij elke drie jaar toegekend door het Koninklijk Wiskundig Genootschap (KWG). Dit jaar ging de prijs voor het eerst naar het vakgebied van de geschiedenis van de wiskunde.
Verliefd op Sanskriet
Zoals vrijwel iedereen, kreeg ook Plofker de wiskunde onderwezen zonder de culturele context waarin ze werd ontwikkeld. Maar tijdens haar wiskundestudie merkte ze dat veel van de vragen die ze had te maken hadden met wetenschapsgeschiedenis. “Ik wilde bijvoorbeeld weten waarom de Grieken dachten dat de cirkel de perfecte geometrische figuur is en waarom ze die perse wilden gebruiken voor de beschrijving van planeetbanen. Maar op zulke vragen kreeg ik geen antwoord.”
Toen ze na haar studie werkte als computerprogrammeur, wilde ze in de avonduren een taal leren. Ze koos een taal waarvan ze het alfabet grappig vond, het Sanskriet. Plofker: “Het Sanskriet bleek het enige rationele alfabet ter wereld te hebben en ook nog eens een hele logische grammatica. Een feest voor iemand met gevoel voor wiskunde. Ik werd verliefd op het Sanskriet. Toen wist ik dat ik verder wilde met zowel de taal als de wetenschapsgeschiedenis.”
In 2009 verscheen van haar hand het boek Mathematics in India, een academisch overzichtswerk van de geschiedenis van de traditionele Indiase wiskunde. Het wordt internationaal gezien als een belangrijke aanvulling op de overwegend Eurocentrische geschiedschrijving van de wiskunde. Plofker: “Voorheen werd de Indiase wiskunde bestudeerd aan de hand van de wiskundige resultaten en methoden, maar niet in een coherente, intellectuele en culturele traditie. Misschien niet zo raar, want die context is moeilijk te begrijpen en je moet ook nog kennis van het Sanskriet hebben. Ik heb de traditionele Indiase wiskunde bestudeerd in de culturele context waarin ze thuis hoort, die van kalenderproblemen, astrologie en heilige altaren.”
Het voor westerlingen merkwaardigste aspect van de traditionele Indiase wiskunde is wel het gebruik van de metrische versvorm. De Indiërs hadden een sterk orale traditie waarin verzen van meester op leerling werden overgedragen. Dat gold voor de heilige teksten van de Veda, maar ook voor wiskundige teksten. Plofker: “Het opschrijven van verzen werd zelfs als verdacht beschouwd. Het ging om het geluid van het Sanskriet. Dat was heilig. De geschreven vorm was maar een slap aftreksel van de gesproken vorm. Voordeel van de versvorm is dat leerlingen gemakkelijker een vers onthouden dan een reeks getallen of een formule. Net zoals wij de vermenigvuldigingstafels uit ons hoofd moeten leren, moest de Indiase wiskundestudent zulke verzen uit het hoofd leren.”
In het Sanskrietvers over de sinusberekening coderen de medeklinkers voor de eerste vijf getallen die je nodig hebt om de sinus via een optelsom van vijf termen te benaderen. In andere Sanskrietverzen kunnen woorden als geheel voor getallen coderen, bijvoorbeeld ‘maan’ of ‘aarde’ voor het getal 1, en ‘hand’ of ‘oog’ voor het getal 2. De meeste Sanskrietverzen over wiskunde zijn echter geen coderingen, maar letterlijke beschrijvingen van een wiskundige berekening. Dat levert dan tekstfragmenten zoals dit op: ‘Nadat de boog en alle eerdere resultaten met het kwadraat van de boog vermenigvuldigd zijn...’
Paradijs voor rekenaars
De oudste Indiase wiskunde werd tussen 1200 en 600 v.Chr. gebruikt bij het ontwerp van vuuraltaren. Ver voor het begin van onze jaartelling bouwden de Indiërs vuuraltaren om dieren te offeren aan de goden. Ze werden op een strikt geometrische manier ontworpen. Als een offer geen succes had, moest het altaar met een bepaalde factor worden vergroot. Verschillende altaarvormen, bijvoorbeeld in de vorm van een schildpad of een valk, kenden verschillende betekenissen.
“Om de een of andere onbegrepen reden speelden vormveranderingen in die ontwerpen een belangrijke rol”, vertelt Plofker. “Hoe je met hetzelfde aantal stenen waarmee je een vierkant maakt bijvoorbeeld ook een rechthoek, een cirkel of een trapezium kunt maken. Voor hun altaarontwerpen hadden de Indiërs kennis van de meetkunde nodig, waaronder wat wij nu de stelling van Pythagoras noemen, nog vóór Pythagoras er zijn naam aan gaf.”
Vanaf 600 v.Chr. werd het voorspellen welke hemellichamen waar en wanneer staan de hoofdtaak van de Indiase wiskundigen. De Indiase kalender was niet alleen gebaseerd op de beweging van de zon, zoals onze kalender, maar ook op die van de maan. Zo hadden de Indiërs behalve wat wij nu een gewone dag noemen ook een dag die gebaseerd is op de maanbeweging. Daarvoor namen ze de tijd tussen de ene nieuwe maan en de volgende − ongeveer 29,5 dag − en verdeelden die in dertig delen. Die ‘maandag’ is dus iets korter dan onze gewone dag.
“Vaak waren het deze ‘maandagen’ die een astrologische betekenis hadden”, zegt Plofker. “Het synchroniseren van de op de zon gebaseerde dagen en de op de maan gebaseerde dagen was een paradijs voor rekenaars. Verder speelde in de astrologie ook het voorspellen van zons- en maansverduisteringen en van conjuncties een belangrijke rol.”
Een van de hoogtepunten van de traditionele Indiase wiskunde is de ontdekking dat de sinus, de cosinus en de arctangens geschreven kunnen worden als de optelsom van een oneindige reeks van termen. Deze reeksen werden eind veertiende eeuw ontdekt door Madhava, de stichter van de Kerala-school voor wiskunde en sterrenkunde. “Dat was drie eeuwen voordat ze in Europa door Isaac Newton, Wilhelm Leibniz en James Gregory werden ontdekt”, zegt Plofker.
In plaats van te spreken over de Newton-reeksen voor sinus en cosinus, de Gregory-reeks voor de arctangens en de Leibniz reeks voor π, spreken wiskundigen tegenwoordig steeds vaker over de Madhava-Newton-reeksen, de Madhava-Leibniz-reeks en de Madhava-Gregory-reeks. Tot vreugde van Plofker. “Ik spring niet meteen op als iemand de naam van Madhava zou weglaten, maar als we vasthouden aan de traditie om de eerste ontdekker te noemen, dan is het meer dan terecht dat we de naam van Madhava toevoegen.”
Andere namen van Indiase wiskundigen die we volgens de Amerikaanse wetenschapshistorica zouden moeten kennen, zijn die van Aryabhata en Bhaskara. Allebei waren ze trouwens zowel wiskundige als astronoom. In de vijfde eeuw berekende Aryabhata de bewegingen van de zon, de maan en de planeten. En in de twaalfde eeuw vond Bhaskara onder andere de kleinste geheeltallige oplossingen van de kwadratische vergelijking 61x2 + 1 = y2 (x = 226.153.980 en y = 1.766.319.049). “Een mooi voorbeeld van wiskunde om de wiskunde, zonder een concrete toepassing”, vindt Plofker.
Intuïtie
Naast deze individuele hoogstandjes heeft de traditionele Indiase wiskunde met twee krachtige en creatieve syntheses een blijvend stempel op de wiskunde gedrukt. Plofker: “De belangrijkste Indiase bijdrage is ongetwijfeld het tientallig positiestelsel dat over de hele wereld wordt gebruikt. Alle getallen drukken we uit in combinaties van de tien symbolen 0 tot en met 9. Er bestonden al eerder tientallige rekenstelsels, maar die gebruikten nieuwe symbolen voor de tientallen en geen combinaties van de cijfers 0 tot en met 9.”
Daarnaast waren de Indiërs de eersten die het getal 0 volledig integreerden in de notatie van getallen en in de wiskunde. Plofker: “Ik weet alleen niet of dat genoeg is om te zeggen dat de Indiërs het getal 0 hebben uitgevonden, zoals wel wordt beweerd. De 0 is namelijk op verschillende manieren op verschillende plaatsen in de wereld al eerder opgedoken. Maar de Indiërs waren zeker de eersten die de 0 in al zijn facetten omarmden.”
Al gebruikten Indiase wiskundigen verzen, is wiskunde uiteindelijk toch niet gewoon wiskunde? Stellingen, bewijzen en formules die overal en altijd gelden. Dat is wel zo, zegt Plofker, maar toch zijn er verschillen tussen de westerse wiskunde en de traditionele Indiase. De westerse traditie is sterk beïnvloed door een manier van denken die teruggaat tot de Griekse wiskundige Euclides, legt ze uit. Dit denken is gebaseerd op axioma’s, stellingen en bewijzen. Centraal hierin staat het stapje voor stapje bereiken van absolute wiskundige zekerheid uitgaande van de axioma’s.
De Indiase wiskunde is volgens Plofker meer een melange van bewijzen, experimenten en intuïtie. “Ze staat misschien wat dichter bij onze natuurlijke, associatieve manier van denken. Niet voor niets spreken de Indiërs over ‘het zien van de waarheid van een wiskundige stelling zoals je een stuk fruit in je hand ziet’. Je ziet de waarheid helder en duidelijk voor je en je hoeft haar niet in stukjes van een bewijs uit elkaar te trekken.”
Kan de huidige wiskunde nog iets leren van de traditionele Indiase wiskunde of is ze vooral in historische en culturele context interessant? Plofker: “Het lijkt er op dat de huidige wiskunde zich niet meer alleen vastklampt aan de strenge Euclidische aanpak. Dat zie je bijvoorbeeld in het gebruik van de computer bij wiskundige bewijzen, iets wat traditionele wiskundigen verafschuwen. De computer heeft de vraag wat als een wiskundig bewijs geldt een nieuwe dimensie gegeven. Maar ik wil benadrukken dat het stereotype idee dat de westerse wiskunde rigoureus en exact is en de Indiase wiskunde informeel en luchtig, echt verkeerd is. Ook de Indiërs kenden bewijzen. Wel kun je zeggen dat de traditionele Indiase wiskunde meer open stond voor verschillende manieren van experimenteren en bewijzen dan de westerse wiskunde.”
[Kader:] CV
Kim Plofker (47) studeerde wiskunde en promoveerde in 1995 bij de vooraanstaande Amerikaanse wetenschapshistoricus David Pingree (Brown University) in de geschiedenis van de wiskunde. Na haar promotie werkte ze als onderzoeker achtereenvolgens aan Brown University, Massachusetts Institute of Technology (MIT) en tussen 2004 en 2006 gelijktijdig aan de Universiteiten van Utrecht en Leiden. Sinds 2007 werkt ze aan Union College in Schenectady, gelegen in de Amerikaanse staat New York.
