Boeken

Saturday, February 9, 2008

Ode aan het hele getal


31-jarige wiskundehoogleraar kraakt eeuwenoude getalproblemen in klassieke stijl

Dit artikel werd gepubliceerd in NRC Handelsblad, 22 juli 2006

Al op zijn 28e werd hij hoogleraar wiskunde aan de Princeton Universiteit (VS), als een van de jongsten ooit. Manjul Bhargava, inmiddels 31, heeft de wiskundewereld al een paar maal verrast heeft met spectaculaire bewijzen op het terrein van de getaltheorie. “Mijn vakgebied gaat over de gehele getallen 0, 1, 2, 3... en daar heeft iedereen wel een gevoel voor”, zegt hij in zijn tijdelijke Leidse werkkamer. Op uitnodiging van hoogleraar getaltheorie Hendrik Lenstra was Bhargava afgelopen juni gasthoogleraar bij het Lorentz Center van de Universiteit Leiden. “Manjul heeft bewijzen geleverd die wiskundigen tien jaar geleden niet voor mogelijk hielden”, aldus Lenstra. Afgelopen december nog presenteerde hij een bewijs van een eeuwenoud kwadratenprobleem.

Lenstra: “Een van de meest verbazingwekkende aspecten aan hem vind ik dat zijn stijl meer die is van iemand die met formules manipuleert, zoals in de achttiende en negentiende eeuw gebeurde, dan de stijl van een conceptueel wiskundige, zoals we gewend zijn uit de twintigste eeuw.”

Bhargava beaamt dit laatste. “Ik denk dat ik heel goed in de achttiende eeuw zou passen. Veel van mijn werk brengt de klassieke wiskunde terug. Daar zit zoveel schoonheid in die in de moderne wiskunde soms verloren gaat omdat het vak zo hightech is geworden. Op de een of andere manier zijn veel twintigste eeuwse wiskundigen die oude problemen vergeten. Maar ik voel dat er nog zoveel klassieke wiskunde ligt te wachten om ontdekt te worden.”

Bhargava levert niet alleen onverwachte wiskundige bewijzen, hij is ook nog een begaafd muzikant en geeft hij geregeld colleges over de relatie tussen wiskunde en muziek. Elke dag drumt hij op zijn tabla, een traditioneel Indiaas percussie-instrument bestaande uit een grote en een kleine handtrommel, elk voor een hand. “Als ik vast zit in een wiskundig probleem, dan ga ik even tabla spelen. Dat helpt me om weer fris tegen de wiskunde aan te kijken. En als ik bij het drummen worstel om een nieuwe muzikale compositie onder de knie te krijgen, dan ga ik eerst weer een tijd wiskunde doen.” Drummen op een tabla gebeurt met de vingers, niet met de hele hand. Hij trommelt een roffel op tafel om even voor te doen hoe hij speelt.

Sinaasappels
Bhargava werd geboren in Canada, maar verhuisde met zijn Indiase ouders al voor zijn eerste verjaardag naar New York, waar hij opgroeide tussen de westerse en de traditionele Indiase wereld in. Zijn nieuwsgierigheid naar getallen zat er al vroeg in. Een van zijn vroegste herinneringen aan een wiskundig bewijs gaat terug tot zijn zesde of zevende jaar. “Mijn moeder had sinaasappels gekocht om verse sap te persen. Ik ging spelen met de sinaasappels en vroeg me af hoeveel je er nodig hebt om ze in een piramidevorm van een willekeurig aantal etages te stapelen. Daar heb ik toen een bewijs voor afgeleid.” Later pikte hij veel wiskunde op via het Sanskriet dat hij leerde van zijn opa in India, een geleerde op het terrein van deze klassieke Indiase taal die veel wiskundige structuur bevat. Elk jaar brengt Bhargava wel een paar weken in India door.

Nog voordat hij naar de middelbare school ging, had hij alle wiskunde van de middelbare school zelf al doorgewerkt en zelfs al zijn staatsexamen wiskunde gehaald. “Ik heb de hele middelbare school nauwelijks wiskundelessen meer gevolgd. Ik vond ze erg saai en niet creatief. Ik heb in die tijd vooral veel getennist en gefietst.” Pas toen hij wiskunde in Harvard ging studeren, werd het weer boeiend. Toen hij aantrad als hoogleraar in Princeton, had hij al in zijn proefschrift een wiskundig compositieprincipe, dat de Duitse wiskundige Carl Gauss in 1801 had gepubliceerd, verregaand gegeneraliseerd. En dat tot ieders verbazing, want sinds Gauss had dat terrein van de wiskunde weinig vooruitgang meer geboekt.

Ontdekkingsreiziger
Het bewijs dat Bhargava vorig jaar samen met zijn collega Jonathan Hanke na jarenlang werk leverde, lost in een klap het raadsel van de universele kwadratische vormen op. Een universele kwadratische vorm is een som van kwadraten waarmee je alle gehele getallen kunt maken. Het is al ruim twee eeuwen bekend dat elk geheel getal te schrijven is als de som van vier kwadraten. Zo is 30 = 1 x 1^2 + 1 x 2^2 + 1 x 3^2 + 1 x 4^2. Met drie kwadraten lukt het niet; vier is het minimum waarmee je alle gehele getallen kunt optrommelen.

Nu is er geen dwingende reden waarom de vier voorfactoren 1 moeten zijn. In plaats van vier enen, kun je misschien ook universele kwadratische vormen maken door elk kwadraat met een ander geheel getal te vermenigvuldigen. De grote vraag was welke combinaties van vier gehele getallen nog meer in staat zijn om een universele kwadratische uitdrukking te leveren. Die vraag heeft de Amerikaans-Canadese wiskundige nu beantwoord.

Gewoonlijk begint Bhargava niet met een specifiek probleem. “Ik kijk welke wegen me mooi en interessant lijken en volg dan m’n intuïtie. Ik ben een ontdekkingsreiziger zonder vooropgezet doel.” Maar bij het kwadratenprobleem ging het bij uitzondering eens anders.
Bhargava: “In oktober 1998, toen ik nog met mijn promotiewerk in Princeton bezig was, liep ik collega-wiskundige John Conway een keer in de gang tegen het lijf. Hij vertelde me dat hij zeven jaar eerder een stelling had uitgedokterd die vertelt dat je met slechts acht getallen kleiner dan of gelijk aan vijftien kon testen of een speciale klasse van kwadratische vormen universeel is. Maar hij had het gecompliceerde bewijs nooit gepubliceerd omdat hij verder wilde werken aan een algemeen bewijs voor alle kwadratische vormen. Dat had hij niet gevonden, en hij kon zijn oorspronkelijke deelbewijs inmiddels niet meer vinden. Ik was zo verbaasd dat er zo’n prachtige stelling bestond en dat er geen bewijs meer was, dat ik mijn promotiewerk direct aan de kant heb geschoven, en me op de 15-stelling heb gestort.”

Andrew Wiles, die in 1995 de laatste stelling van Fermat bewees, was in die tijd zijn begeleider. “Wiles was niet erg blij dat ik andere dingen ging doen”, zegt de jonge getaltheoreticus. “Maar ik wilde per se een eenvoudig bewijs vinden, en dat lukte na een maand werk.”
Met het proefschrift is het meer dan goed gekomen. Volgens Wiles had hij in geen twintig jaar zo’n goed proefschrift gezien. Afgelopen december ontving Bhargava er de sastra Ramanujan-prijs voor. In 2000 had het hem reeds een prestigieus vijfjarig fellowship opgeleverd van het Clay Mathematics Institute.
H
et raadsel van de universele kwadraten had hem tijdens zijn promotiewerk zozeer in de greep gekregen, dat hij het niet liet zitten bij het bewijs van de 15-stelling: “Toen ik die had bewezen, had ik ook een globaal idee hoe ik het probleem voor alle kwadraten wellicht kon oplossen. Maar dat is veel lastiger.” Na een paar jaar werk had Bhargava, samen met Jonathan Hanke, het probleem in 2005 opgelost. Vóór een bepaald punt in het bewijs gebruiken ze de computer. “Die had vijf weken rekentijd nodig”, zegt Bhargava. “Ons papieren bewijs zegt vervolgens dat als de computer tot dat punt is gekomen, het zeker is dat het bewijs voor alle gehele getallen geldt. Daarmee hebben we het probleem van de universele kwadratische vormen definitief opgelost. Er bestaan precies 6436 universele kwadratische vormen van vier variabelen.”
Wat je daar aan hebt?

Getaltheoretici kraken getalproblemen precies om dezelfde reden waarom mensen bergen beklimmen. Gewoon omdat ze er zijn.

Drumpatronen
Bhargava: “Wat mij als zuiver wiskundige drijft, heeft niets te maken met toepassingen van de wiskunde, maar alleen met het zoeken naar schoonheid in wiskundige structuren. Goede wiskunde geeft onze zintuigen hetzelfde gevoel als een goed kunstwerk.” De wiskunde heeft voor hem veel gemeen heeft met zijn andere lievelingshobby, de muziek. “In beide disciplines creëer je patronen. Je voegt ze bij elkaar tot een esthetisch en coherent geheel. De creativiteit in muziek en wiskunde lijkt ook sterk op elkaar.”

Hij vertelt over de drumpatronen van een tablaspeler die vol wiskundige patronen zitten. Wat in het westen bekend staat als de Fibonaccireeks – de reeks getallen waarbij elk volgend getal de som is van de twee voorgaande: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...– heet in India de Hemachandragetallen, vernoemd naar de twaalfde-eeuwse Indiase geleerde Hemachandra.
Bhargava: “Indiase tablaspelers en Sanskrietdichters gebruikten die reeks al zeker een halve eeuw voordat Fibonacci deze rij rond 1200 ontdekte. Hemachandra had ontdekt dat deze getallen een antwoord geven op de vraag hoeveel verschillende opeenvolgingen van lange en korte maten in een opeenvolging van een bepaald aantal maten passen. Hij gebruikte dit bij ritmes in de poëzie. Als de lange maat twee maten duurt, en de korte maat één, dan heb je 8 verschillende manieren om met lange en korte maten een 5-maats patroon te slaan, 13 manieren voor een 6-maats, 21 voor een 7-maats, 34 voor een 8-maats, enzovoort. Als drummer gebruik ik die reeks voortdurend.”

Bhargava leerde op jonge leeftijd tabla spelen van zijn moeder. Later studeerde hij bij de Indiase tablameester Zakir Hussain en overwoog hij zelfs een professionele muziekcarrière. “Maar uiteindelijk leek het me toch makkelijker om als wiskundige tabla te blijven spelen dan als professioneel tablaspeler wiskunde te bedrijven.”

Tijdens zijn verblijf in Leiden kwamen enkele van ’s wereld beste getaltheoretici naar zijn voordrachten luisteren. Lenstra: “Manjul bedenkt van die wonderlijke formules die telkens op hun pootjes terecht komen op een manier die alleen hij kan voorspellen. Waarom doen ze dat? En waarom lukt hem dat altijd? Hij heeft een intuïtie die anderen niet hebben. Die intuïtie is bij het manipuleren met formules de gids in zijn hoofd, maar hoe dat precies werkt kan hij zelf ook niet uitleggen. Hij heeft een heel optimistische houding. Andere wiskundigen zien vaak complicaties, hij ziet oplossingen. En dat met quasi-speels gemak. Iedereen wil graag het geheim van de smid weten, maar ja, we kunnen niet zijn brein uiteenpluizen.”


[Kader:] 6436 universele kwadratische vormen

In 1770 bewees de Franse wiskundige Joseph-Louis Lagrange dat je elk geheel getal kunt uitdrukken als de som van maximaal vier kwadraten (getallen uit de rij 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36...). Zo is 11 = 1 + 1 + 9, en 30 = 1 + 4 + 9 + 16. Als je dat gehele getal N noemt, dan kun je schrijven: N = x^2 + y^2 + z^2 + t^2, waarin x, y, z en t willekeurig te kiezen gehele getallen zijn. Omdat je met deze vorm elk gewenst geheel getal kunt maken, heet dit een universele kwadratische vorm.

In 1916 ontdekte de Indiase wiskundige Srinivasa Ramanujan 53 nieuwe universele kwadratische vormen, gebaseerd op de algemene uitdrukking ax^2 + by^2 + cz^2 + dt^2, waarin ook a, b, c en d gehele getallen zijn. De vorm die Lagrange bewees, is daarvan het speciale geval waarin a, b, c en d allemaal 1 zijn: [a,b,c,d] = [1,1,1,1]. Ramanujan liet zien dat bijvoorbeeld ook x^2 + 2y^2 + 3z^2 +4t^2 een universele kwadratische vorm is. In dit geval is [a,b,c,d] = [1,2,3,4]. De 53 nieuwe universele kwadratische vormen worden gekarakteriseerd door de volgende 53 keuzen van [a,b,c,d]:

[1,1,1,2] [1,1,1,3] [1,1,1,4] [1,1,1,5] [1,1,1,6]
[1,1,1,7] [1,1,2,2] [1,1,2,3] [1,1,2,4] [1,1,2,5]
[1,1,2,6] [1,1,2,7] [1,1,2,8] [1,1,2,9] [1,1,2,10]
[1,1,2,11] [1,1,2,12] [1,1,2,13] [1,1,2,14] [1,1,3,3]
[1,1,3,4] [1,1,3,5] [1,1,3,6] [1,2,2,2] [1,2,2,3]
[1,2,2,4] [1,2,2,5] [1,2,2,6] [1,2,2,7] [1,2,3,3]
[1,2,3,4] [1,2,3,5] [1,2,3,6] [1,2,3,7] [1,2,3,8]
[1,2,3,9] [1,2,3,10] [1,2,4,4] [1,2,4,5] [1,2,4,6]
[1,2,4,7] [1,2,4,8] [1,2,4,9] [1,2,4,10] [1,2,4,11]
[1,2,4,12] [1,2,4,13] [1,2,4,14] [1,2,5,6] [1,2,5,7]
[1,2,5,8] [1,2,5,9] [1,2,5,10]

De grote vraag was sindsdien hoe je kunt voorspellen welke combinaties [a,b,c,d] een universele kwadratische vorm opleveren. Manjul Bhargava heeft samen met Jonathan Hanke van Duke University (VS) bewezen dat er precies 6436 combinaties van [a,b,c,d] zijn die een universele kwadratische vorm van vier variabelen opleveren. Niet meer en niet minder.
Een onderdeel hiervan is het wonderlijke bewijs dat een kwadratische vorm die elk van de getallen 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 10, 31, 34, 35, 37, 42, 58, 93, 110, 145, 203, 290 als uitkomst oplevert, alle gehele getallen kan vormen.

Webpagina over de universele kwadratische vormen: www.math.duke.edu/~jonhanke/290/Universal-290.html

Beluister Manjul Bhargava als tablaspeler: http://www.npr.org/templates/story/story.php?storyId=4111253