Briljant wiskundige John Nash verongelukt

Een Radio-In-Memoriam voor de afgelopen zaterdag verongelukte wiskundige John Nash. Even geniaal als getormenteerd, en voor een breed publiek vereeuwigd in de met 4 Oscars bekroond film "A Beautiful Mind".

Beluister het In Memoriam op de website van NPO Wetenschap. 

Wiskunde is als zuurstof

Wiskunde is diep verweven met alle facetten van ons bestaan. Of zoals de bekende Nederlandse wiskundige Lex Schrijver het eens zei: “Wiskunde is als zuurstof. Als het er is, merk je het niet. Als het er niet zou zijn, merk je dat je niet zonder kunt”.

Om een klein beetje van de wiskunde die we inademen zichtbaar te maken, schreven wetenschapsjournalisten Ionica Smeets en Bennie Mols het boek ‘Succesformules’. De Kennis van Nu sprak met hen onder andere over origamiwiskunde en geneesmiddelen ontwerpen achter de computer.

Klik op de afbeelding hierboven om het gesprek te beluisteren of te bekijken op de website van NPO Wetenschap.

17 Wiskundige formules die de wereld hebben veranderd

In 2013 schreef wiskundige Ian Stewart het boek 17 Equations that changed the world.

Hier is de lijst met de 17 wiskundige formules die volgens Stewart de wereld hebben veranderd (klik op de afbeelding voor een vergroting van de lijst):

Een uitleg in het Engels van al deze vergelijkingen, vind je hier.

De lijst is een mooie aanvulling op het boek Succesformules - Toepassingen van wiskunde, dat ik samen met Ionica Smeets heb geschreven en dat net is verschenen.

(Met dank aan wiskundige Joost Hulshof, die me wees op de lijst met 17 vergelijkingen).

De logica van een goed gesprek

Wat iemand weet, gelooft en wil, verandert voortdurend in een gesprek.

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van vrijdag 26 september 2014

Hoogleraar logica Johan van Benthem is al decennialang een groot inspirator voor studenten en onderzoekers van over de hele wereld. Op vrijdag 26 september nam hij afscheid als universiteitshoogleraar aan de Universiteit van Amsterdam.

Hoe logisch is het dat een logicus op zijn 65e met pensioen moet in Amsterdam, maar wel doorwerkt in de Verenigde Staten en China?

Het is onredelijk, maar wel begrijpelijk. Ik geloof overigens in consistentie, en wereldwijd gaat de regelgeving toe naar het afschaffen van een leeftijdsgrens. Dat is in Amerika en China al zo. Aan de andere kant: in mijn geval heeft het wel iets natuurlijks om in Amsterdam met emeritaat te gaan. Het Institute for Logic, Language and Computation dat ik hier heb opgezet, floreert. En om wetenschap succesvol te laten zijn, is het goed dat pioniers zich niet te veel bemoeien met wat ze in gang hebben gezet.

In uw afscheidsrede noemt u logica het immuunsysteem van de geest. Wat bedoelt u daarmee?

Stel, je bent gezond, maar loopt opeens een verkoudheidsvirus op. Dan komt je immuunsysteem in actie om die verstoring van je gezondheid te corrigeren. Vergelijk dat eens met de discussie die je met iemand voert. Je interpreteert af en toe informatie verkeerd. Je maakt af een toe een fout in een redenering. Maar tijdens de discussie herstel je die fouten voortdurend. Als logicus bestudeer ik niet alleen wat al correct is, maar ook welke intelligente correctiemechanismen we hebben.

Dat klinkt veel dynamischer dan wat de meeste mensen zich bij logica zullen voorstellen, want dat is eerder statisch…

Om de vergelijking met lichaam en geest nog even door te trekken: het klassieke logische ideaal is dan dat je eeuwig en altijd gezond bent. Maar zo zit het menselijk lichaam niet in elkaar. De kracht zit er juist in dat ons lichaam dankzij het immuunsysteem juist ook kan functioneren in situaties waarin het misgaat. Ik denk dat onze geest ook zo in elkaar zit. Bij elke conversatie stroomt er informatie van allerlei aard heen en weer tussen mensen. De dynamische logica die ik beoefen, beschrijft die conversatie als rekenstappen die passen in strategisch gedrag. De centrale vraag is steeds: hoe verandert na elke informatie-uitwisseling wat mensen weten, geloven en willen?

Wat fascineert een logicus in een gewoon menselijk gesprek?

De feitelijke communicatie tussen mensen is vele malen complexer dan wat de klassieke logica oplost. Stel, dit is een sollicitatiegesprek, en ik solliciteer bij jou. Dan moet ik eigenlijk een contradictie proberen over te brengen. Aan de ene kant moet ik laten zien dat ik ongelofelijk capabel ben, dat ik een duidelijk plan heb en dat je naar mij helemaal geen omkijken hebt. Aan de andere kant moet ik ook laten merken dat ik volledig open ben, elke suggestie van jou zal aanvaarden en dat ik geen enkele bedreiging vorm voor jouw autoriteit. Dat is een contradictie, maar wanneer het gesprek goed verloopt, dan vinden we een balans tussen beide kanten. Om dezelfde reden zeg ik wel eens dat het schrijven van een goede sollicitatiebrief een orde-grootte moeilijker is dan het schrijven van een wiskundig bewijs.

Kunt u zelf nog wel een normaal gesprek voeren zonder in uw achterhoofd na te denken over de logische structuur ervan?

Soms denk ik inderdaad tijdens een gesprek ook na over de logica erachter. Dat probeer ik dan wel te verbergen, want als het zou opvallen, dan irriteert dat natuurlijk mateloos.

Wat is eigenlijk het maatschappelijke nut van logica?

Toen ik in de jaren zestig werd gegrepen door de exacte manier waarop je kunt nadenken over menselijk redeneren, was ik totaal niet geïnteresseerd in toepassingen van de logica. Ik werd er zelf een beter mens van en dat vond ik al nut genoeg. Daarna raakte ik geïnteresseerd in onderwijs geven en vond ik het opleiden van hele generaties studenten een belangrijke maatschappelijke bijdrage.

Maar hoe zit het met concrete toepassingen?

De logica kan bijvoorbeeld bijdragen aan de feitelijke verbetering van het maatschappelijk debat. Het geven van likes en dislikes op internet wordt steeds vaker gebruikt om opinies te peilen over een kwestie. Een belangrijk probleem is dat je de achterliggende redenen niet ziet, terwijl die veel belangrijker zijn. Nu heeft een collega van mij een bedrijf in Frankrijk opgericht dat zulke debatten analyseert en organiseert en probeert om de cultuur van het geven van redenen te versterken. Het type dynamische logica dat ik ontwikkel, kan daaraan bijdragen, en je kunt het ook toepassen op de interacties tussen mensen en computers, die een steeds belangrijkere rol spelen in onze samenleving.

In veel discussies, zowel privé als maatschappelijk, lijkt emotie vaak een belangrijkere rol te spelen dan rationele argumentatie. Hoe kijkt u daar als logicus tegenaan?

Als een menselijk gesprek goed verloopt, dan is er een soort emotionele resonantie tussen twee mensen. We weten ook dat als die emotionele resonantie niet plaatsvindt, de informatieoverdracht vaak mis gaat, terwijl dat strikt logisch gezien niet zou hoeven. Emotie is natuurlijk belangrijk, maar onderschat het redeneren niet. Stel, een man komt ’s avonds laat thuis en zijn vrouw vindt lippenstift op de kraag van zijn overhemd. In een flits komen dan de waarneming, de redenering en de emotie samen!

Wat vonden uw ouders van logica als uw levensbestemming?

In eerste instantie waren ze teleurgesteld. Mijn vader was in zijn hart kunstzinnig en had gehoopt dat ik schrijver zou worden. Mijn moeder was destijds nog godsdienstig en hoopte dat ik dominee zou worden, of anders zendeling.

En uiteindelijk werd u een zendeling in de kunst van het redeneren…

Haha, dank voor deze vraag. Ja, misschien heb ik mijn ouders toch niet zo teleurgesteld als ik in eerste instantie dacht.


[cv]
Prof. dr. Johan van Benthem (1949) is sinds 1986 aan de Universiteit van Amsterdam hoogleraar logica en haar toepassingen, in het bijzonder in de informatie- en cognitiewetenschappen (sinds 2003 als universiteitshoogleraar). Sinds 1991 doceert hij ook aan de Stanford University (VS) en sinds 2008 aan de Tsinghua University in Beijing (China). In 1996 won hij de NWO Spinozapremie, de hoogste wetenschappelijke onderscheiding in Nederland.

Waarover gaat de logica?
Logica is de studie van het redeneren. De traditionele logica gaat vooral over de correctheid van redeneringen. In de 20e eeuw heeft de logica echter rijkere raakvlakken gekregen met de wiskunde, de wijsbegeerte, de taalkunde, de informatica en de kunstmatige intelligentie. Meer recent leggen logici ook steeds meer contacten met de economie, de psychologie, het recht, en de cognitiewetenschappen.

Net verschenen: het boek 'Succesformules - Toepassingen van Wiskunde'

Vandaag is het boek 'Succesformules - Toepassingen van wiskunde' van Ionica Smeets en Bennie Mols verschenen.

In 36 korte hoofdstukken in een aantrekkelijk vormgegeven boek laten auteurs Bennie Mols en Ionica Smeets zien hoe wiskunde succes boekt op terreinen als economie, geneeskunde, misdaadbestrijding, logistiek, sport en kunst. Daarnaast vertellen acht invloedrijke Nederlanders, waaronder Alexander Rinnooy Kan, Jeroen van der Veer en Louise Gunning over de rol van wiskunde in hun vak en persoonlijke leven. Het boek is met name geschikt om op een laagdrempelige manier de brede toepasbaarheid van wiskunde te laten zien.

Het boek is op maandag 22 september gepresenteerd bij de opening van de NEMO-tentoonstelling "Wereld van Vormen" en wordt wijd verspreid onder universiteiten, middelbare scholen, politici, media en andere geïnteresseerden. 'Succesformules' telt 108 pagina's en is hier gratis te downloaden of in print te bestellen via dit formulier.

De mathematica van de zoetwaterpoliep

Alan Turing is het bekendst van de Turingmachine, het kraken van de Enigma en de Turingtest. Veel minder bekend is dat hij ook een van de grondleggers is van de wiskundige biologie.

Wiskundig bioloog Hans Meinhardt vertelt hier over Turings baanbrekende wiskundig-biologische werk 

aan de zoetwaterpoliep (te zien op de afbeelding op de achtergrond)

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van zaterdag 23 juni 2012

In 1922 krijgt de dan tienjarige Alan Turing een jeugdboek cadeau dat hem voor het eerst in contact brengt met de wetenschap: Natural Wonders Every Child Should Know, geschreven door de Amerikaan Edwin Brewster. Het boek zou hem zijn leven lang beïnvloeden. Het draait om de vraag wat mensen gemeen hebben met andere levende wezens en waarin ze verschillen. Hoe weet een bevrucht kikkereitje hoe het moet uitgroeien tot een kikker? Hoe komt de kip in het ei terecht? Waarmee denkt de mens? Dat soort vragen. Brewster beschrijft levende wezens als ingewikkelde machines. En zo zou Turing als wetenschapper zelf gaan aankijken tegen de mens en zijn brein: als een ingewikkelde machine.

De informatiebasis van die biologische machine, het erfelijke materiaal gegoten in de vorm van een DNA-molecuul, werd in 1953 ontdekt door Watson en Crick. Dat was een jaar voor Turings zelfmoord. Turing heeft veel te kort geleefd om zich te laten inspireren door die grote ontdekking. Het is zelfs maar de vraag of hij heeft beseft hoe zeer zijn eigen universele Turingmachine ook van toepassing is in de biologie. In 1936 had Turing een baanbrekende machine bedacht: de universele Turingmachine. Deze hypothetische machine bestaat uit een oneindig lange tape, een kop die symbolen op de tape kan lezen, schrijven en wissen en een controle-eenheid die aan de hand van een instructietabel bepaalt wat de kop moet doen. Elk probleem dat kan worden berekend, kan worden berekend op een universele Turingmachine.

In een speciale Turing-editie van het wetenschappelijke tijdschrift Nature (23 februari 2012) schrijft Sydney Brenner, Nobelprijswinnaar geneeskunde in 2002: “De beste voorbeelden van Turing- en Von Neumann-machines zijn te vinden in de biologie. Nergens anders zijn er zulke ingewikkelde systemen, waarbij elk organisme een interne beschrijving bevat van zichzelf. Het concept van een gen is de symbolische voorstelling van het organisme [...] Biologen stellen slechts drie vragen over een levend organisme: Hoe werkt het? Hoe is het gebouwd? En hoe is het op die manier ontstaan? [...] en in de kern liggen de tapes die een beschrijving bevatten om deze speciale Turingmachines te bouwen.”

In de jaren dertig was Turing een theoretisch wiskundige geweest, tijdens de Tweede Wereldoorlog een codekraker en net na de oorlog de pionier van de kunstmatige intelligentie. In 1951 had Turing het roer van zijn carrière weer eens radicaal omgegooid. Hij was zich gaan verdiepen in de vraag hoe een organisme weet hoe het moet groeien. Precies de vraag die Brewster in Turings lievelingsboek uit zijn jeugd ook al had gesteld. In de negentiende eeuw hadden de ontwikkelingsbiologen Hans Driesch en Hans Spemann aangetoond dat een embryo zich vormt uit één enkele symmetrische cel in plaats van uit een miniatuurlichaam met miniatuurledematen (de ‘homunculus’). Ze kwamen er echter niet achter welk mechanisme dit kon verklaren.

Turing beet zich vast in dit ontwikkelingsprobleem en keek er met de blik van een wiskundige naar. Hij koos als rekenmodel de zoetwaterpoliep, een langwerpig wormpje met tentakels aan het uiteinde, dat ook al in Natural wonders figureerde. Als kind had hij gelezen hoe de zoetwaterpoliep een nieuwe kop en staart ontwikkelt wanneer je hem doormidden snijdt. Voor zijn rekenwerk versimpelde Turing de poliep door alleen de doorsnede van zijn kopje te beschouwen en deze nog verder te reduceren tot niet meer dan een ring van cellen. Vervolgens stelde hij een wiskundig model op dat de reactie en verspreiding van twee hypothetische chemische stofjes langs die ring beschreef. Turing noemde die stoffen ‘morfogenen’, letterlijk ‘vormscheppers’. Hij voerde ze in als een wiskundige truc die patronen laat ontstaan.

Voor de oplossing van het wiskundige model gebruikte hij de Mark 1-computer van de universiteit van Manchester, waar hij vanaf 1948 werkte. Dit kersverse elektronische brein was de eerste commercieel verkrijgbare elektronische computer, waarvan er acht zouden worden verkocht. De oplossing van Turings rekenmodel liet zien dat er langs de ring een soort uitstulpingen konden ontstaan, die het begin konden vormen van de tentakels van de zoetwaterpoliep.

In 1952 publiceerde Alan Turing zijn bevindingen in een van de eerste wetenschappelijke publicaties die de wiskunde combineerde met de biologie en de scheikunde: het 35 pagina’s tellende ‘The chemical basis of morphogenesis’. Hij liet zien hoe complexe, asymmetrische patronen kunnen ontstaan uitgaande van een symmetrische oercel. Aan de wiskundige basis hiervan lagen de ‘morfogenen’ die Turing zelf had verzonnen en die van het wormpje een niet-lineair biologisch systeem maakten. (Bij een lineair systeem hangt de uitvoer rechtevenredig af van een verandering in de invoer. Bij een niet-lineair systeem is dat niet meer het geval, waardoor het veel moeilijker te berekenen is. Veel alledaagse verschijnselen zoals wrijving of het weer zijn niet-lineair.)

In dezelfde aan Turing gewijde Nature-special van afgelopen februari schrijft wiskundig-bioloog John Reinitz van de Universiteit van Chicago: “Turings grote verdienste is dat hij de deur heeft geopend naar de ontwikkelingsbiologie [...] Hij was zijn tijd ver vooruit.” Pas rond de jaren tachtig werden de biologische mechanismen ontdekt die de embryonale ontwikkeling aansturen. Edward Lewis, Christiane Nüsslein-Volhard en Eric Wieschaus hadden niet de zoetwaterpoliep, maar de fruitvlieg als experimenteel diermodel gebruikt. Zij ontdekten dat de zogeheten homeobox-genen in het hele dierenrijk essentieel zijn voor de groei van embryo. In 1995 ontvingen het drietal hiervoor de Nobelprijs voor geneeskunde.

De biologische werkelijkheid zat anders in elkaar dan in Turings eenvoudige wiskundige model. Het bleken genen te zijn die eiwitten produceren en die op hun beurt de embryonale ontwikkeling bepalen. Die eiwitten spelen de rol van Turings hypothetische ‘morfogenen’. Toch had hij de juiste vragen gesteld en ook nog een baanbrekende rekenaanpak gekozen. En vooral: hij had wiskundig aangetoond hoe de asymmetrie van een biologisch organisme verklaard kon worden.

Turing beschouwde zijn wiskundig-biologische werk als zeker zo belangrijk als zijn publicatie over de Turingmachine, dat aan de basis van de theoretische informatica kwam te liggen. Net als in 1936 had hij een geheel nieuw vakgebied aangeboord: dit keer de wiskundige biologie en in het bijzonder die van de niet-lineaire processen. Voor het doorgronden van zulke processen biedt de computer uitkomst. Turing gebruikte een oercomputer terwijl wiskundigen nog enkele decennia zouden neerkijken op het bedrijven van wiskunde met de computer. Zijn dood in 1954 maakte helaas een vroegtijdig einde aan zijn wiskundig-biologische pionierswerk.

Omdat Turing nog niets wist van genetica, hebben wetenschappers zijn bijzondere en enige publicatie in de wiskundige-biologie volgens Reinitz lang onderschat. Hij hoopt dat daar in dit internationale Alan Turing-jaar 2012 definitief een einde aan komt: “Zijn artikel bevat een berg aan interessante ideeën [...] Het vormde de overgang van het tijdperk van de analytische wiskunde naar dat van de computationele wiskunde.”

[Biografietje:]
Alan Turing in vogelvlucht
Op 23 juni 2012 is het precies honderd jaar geleden dat Alan Turing werd geboren. Turing was een Britse wiskundige en computerpionier. In 1936 bedacht hij een hypothetische machine − de Turingmachine − die de theoretische basis is van ons moderne begrip van een computer die niet alleen kan rekenen, maar alle soorten gedigitaliseerde informatie kan verwerken. Al in 1946 voorzag Turing de grote rol van software “voor elk bekend proces”: we bouwen niet voor elke taak een nieuwe machine, maar het volstaat om steeds nieuwe software te schrijven die op dezelfde hardware kan draaien.

Tijdens de Tweede Wereldoorlog speelde Turing een cruciale rol bij het kraken van de geheime Duitse Enigmacodes. De Britten ontcijferden zo vele tienduizenden Duitse berichten per maand, wat een belangrijke bijdrage leverde aan de winst op de Duitsers in de strijd op de Atlantische Oceaan. Historici schatten dat het kraken van de Enigma de Tweede Wereldoorlog met twee jaar heeft bekort. In 1950 stelde hij de Turingtest voor als een manier om te bepalen of een computer kan denken.

In 1952 werd Turing opgepakt voor het hebben van een homoseksuele relatie, destijds nog een misdaad in Groot-Brittannië. Hij werd veroordeeld tot een hormoontherapie van een jaar om zijn homoseksualiteit te onderdrukken. Op 7 juni 1954 werd Turing dood in bed gevonden. Geïnspireerd door een scène uit Sneeuwwitje had hij zelfmoord gepleegd door een appel in cyanide te dopen en daar een paar happen uit te nemen. 2012 is uitgeroepen tot het internationale Alan Turing-jaar, vanwege zijn honderdste geboortedag.

Turing Patterns and Animal Markings

Alan Turing is best known for the Turing Machine, breaking the Enigma-code and the Turing Test. Much less known is that he is one of the founders of mathematical biology, by writing in 1952 the article ‘The chemical basis of morphogenesis’. 

Because Turing knew nothing of genetics, scientists have long underestimated his one and only publication in mathematical biology. But the paper contains a load of interesting ideas and is on the transition point between the era of analytical mathematics and computational mathematics.

At the Turing Centenary conference How the World Computes mathematician Ian Stewart gave a public lecture this evening on Turing patterns and animal markings.

Here are some photo impressions with some quotes (click on the first one and you can go through all of them in larger format).

Ian Stewart: "If Turing would be alive today, he would be staggered where his theory on pattern formation has arrived."

Ian Stewart: "Patterns form by broken symmetries."

Ian Stewart: "Turing's reaction-diffusion equations show that local non-linearity combined with global diffusion create striking and often complex patterns."

Ian Stewart: "Theorem: A spotted animal can have a striped tail, but a striped animal cannot have a spotted tail."

And here are some stunning examples from patterns on shells from the Zoology Museum in Cambridge, next door to the conference:

This one has the pattern of a Sierpinski gasket:

Here are some more examples:

Later I will upload an MP3 audio recording of the lecture.

For the Dutch national newpaper NRC Handelsblad of Saturday June 23 I have written an article about Alan Turing's least known scientific contribution: mathematical biology, especially pattern formation.

De regels van ruimtelijke vormen - Spinozaprijs voor wiskundige Ieke Moerdijk

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van dinsdag 5 juni 2012

Spinozawinnaar: Ieke Moerdijk, wiskundige

Geboortejaar: 1958

Verbonden aan: Radboud Universiteit Nijmegen 

Doet onderzoek naar: ruimtelijke vormen in drie, vier of zelfs een willekeurig groot aantal dimensies. Deze tak van de wiskunde heet topologie, een abstracte meetkunde. De topologie bestudeert de essentiële eigenschappen van objecten die niet veranderen als je de objecten vervormt. Vergelijk het met kleien volgens bepaalde regels: je mag een stuk klei indeuken, uitrekken of verbuigen, maar niet verscheuren, gaten prikken of stukken aan elkaar plakken. Zo kun je een bolletje klei boetseren tot een piramide. Maar je kunt van het bolletje geen fietsband maken zonder twee stukken aan elkaar te plakken en daarmee de regels te overtreden. Topologie kent vele toepassingen, zoals voor het begrijpen van de eigenschappen van plastics en in de snaartheorie, de theorie die probeert de vier fundamentele natuurkrachten met elkaar te verenigen.

Wat was uw recept om Spinozalaureaat te worden?
Geen recept natuurlijk, alsof ik dit zelf kon plannen! Ik was compleet verrast toen ik gebeld werd. Ik zie de prijs als een erkenning voor het feit dat ik onvermoede verbanden heb gelegd tussen de meetkunde en de wiskundige logica. Dat zijn twee deelgebieden die op het eerste gezicht ver uit elkaar liggen. Ik was een van de heel weinigen die voldoende van beide gebieden wist om dwarsverbanden te leggen.

Wat was uw grootste hindernis?
De grootste hindernis voor mij, maar eigenlijk voor alle theoretisch wiskundigen, is dat het niet meevalt om op de toppen van de subsidiegolven mee te surfen. Enerzijds is de wiskunde alom aanwezig. Neem de mobiele telefoon, de computer of de beveiliging van een bankpas. Anderzijds zit die wiskunde vaak mooi verstopt, zodat de maatschappij en de subsidiegevers zich er nauwelijks van bewust zijn. Bovendien is wiskunde een vak van de lange adem. Toepassingen grijpen soms terug op theorieën van tientallen jaren oud.

Wat is uw motivatie voor dit onderzoek?
Ik wil niet al te zeer als een romanticus overkomen, maar ik word toch vooral gedreven door de schoonheid en harmonie van de wiskunde. Wat wij mooie of elegante theorieën en stellingen noemen hebben vaak een sterk verklarende werking. Elegantie is vaak een indicatie dat een wiskundige ontdekking van blijvende waarde kan zijn. Om die reden geloof ik ook niet dat computers ooit de wiskundigen van vlees en bloed kunnen vervangen. Een lang en ingewikkeld bewijs geleverd door een computer is vergelijkbaar met een vaak herhaald experiment in de natuurkunde: het levert een argument dat een stelling waar is, maar levert niet per se een nuttig en productief inzicht aangaande waarom die stelling waar is. Wat mij intrigeert is de vraag waarom bepaalde wiskundige patronen op elkaar lijken. Vaak zit de sleutel in het vinden van de juiste concepten.

Wat gaat u met het geld van de Spinozapremie doen?
Ik zal het geld voornamelijk gebruiken om jonge onderzoekers aan te trekken. Zelfs in de theoretische wiskunde wordt het steeds moeilijker voor eenlingen of kleine groepen om de ontwikkelingen bij te benen. Daarnaast heb ik het altijd buitengewoon stimulerend gevonden om met jonge promovendi en postdocs te werken: ze houden je fris en dwingen je nieuwe wegen in te slaan. Verder wil ik het geld ook gebruiken om bijeenkomsten te organiseren met groepen in Frankrijk, Engeland, Duitsland en de VS. Veel voortgang in de wiskunde ontstaat in eerste instantie niet via publicaties maar via informele mondelinge uitwisseling van ideeën. Wiskunde is een sociale bezigheid.

Koralen en hersencellen

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van zaterdag 28 april 2012

                                                Bron: Robert Sinclair, Okinawa Institute of Science and Technology

                                           De opgemeten vertakkingen in een hersencel (rood) en een stuk koraal uit Curacao (groen) 

                                         tonen dat vertakkingen in platte vlakken liggen. (De blauwe figuur is een referentiefiguur die 

                                         het gemakkelijker maakt om de andere twee figuren ruimtelijk te interpreteren.)

Bekijk koralen, planten, longen, hersencellen of haarvaatjes, en je ziet prachtige vertakte structuren. Oplettende waarnemers hebben al vaker opgemerkt dat de vertakkingen in platte vlakken lijken te liggen. Die platte vlakken kunnen trouwens wel willekeurige oriëntaties ten opzichte van elkaar aannemen. Niemand had deze waarnemingen echter nog wetenschappelijk bevestigd, laat staan verklaard.

In het tijdschrift PLOS Computational Biology van april 2012 hebben wetenschappers van de Universiteit van Amsterdam en het Japanse Okinawa Institute of Science and Technology twee vliegen in een klap geslagen. Ze maten de hoeken in de vertakkingen van het koraal Madracis mirabilis uit Curacao en ze deden hetzelfde bij de vertakkingen van acht typen hersencellen. Deze metingen bevestigen het vermoeden dat de natuur een voorkeur heeft voor vertakkingen in platte vlakken. In hetzelfde artikel leverden de wetenschappers hiervoor ook een wiskundig bewijs.

Wiskundigen die vertakkingsproblemen bestuderen, werken met optimale vertakkingsbomen waarbij opeenvolgende takken alleen maar bepaalde hoeken met elkaar kunnen maken (Steiner-bomen). Alleen bij die bepaalde hoeken is een wiskundige vertakkingboom optimaal. Maar de levende natuur laat zien dat koralen en hersencellen optimale vertakkingsbomen vormen waarbij er geen enkel verband meer is tussen twee opeenvolgende hoeken. “Juist daardoor krijgt een koraal of een hersencel meer vrijheden om aan uiteenlopende biologische eisen te voldoen”, zegt Jaap Kaandorp van de Universiteit van Amsterdam, die samen met zijn promovendus Nol Chindapol bij het onderzoek betrokken was. 

  

                                  Het opgemeten koraal Madracis mirabilis uit Curacao levert het groene plaatje 

                                  uit de vorige illustratie.

                                                   Bron: Louis van der Laan (Zoölogisch Museum Amsterdam)

Dat de natuur structuren bouwt met zo min mogelijk energie en materiaal, ligt voor de hand. Maar meestal stelt een biologisch systeem nog andere eisen. Zo moet een koraal tegelijkertijd ook voldoende licht en voedsel krijgen. Vaak zijn niet alle biologische eisen bekend waaraan een organisme moet voldoen en dan wordt het voor de wetenschappers moeilijk rekenen. Ze toonden echter aan dat zelfs als niet alle biologische eisen bekend zijn, de eis dat de totale lengte van alle takken zo kort mogelijk moet zijn, automatisch leidt tot vertakkingen in platte vlakken. Koralen en hersencellen mogen biologisch gezien dan wel niets met elkaar te maken hebben, wiskundig gezien blijken ze wel degelijk familie.

Wiskundige Nobelprijswinnaars

De wiskunde moet het doen zonder een Nobelprijs, maar kent genoeg beloningen voor bedwingers van de Olympus.


Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van zaterdag 1 oktober 2011

Alfred Nobel nam in zijn testament uit 1895 geen Nobelprijs voor de wiskunde op omdat zijn vrouw een affaire had met de invloedrijke Zweedse wiskundige Gösta Mittag-Leffler. Dat is de anekdote die al een eeuw wordt doorverteld, die sommige wiskundigen ook heden ten dage nog geloven, maar waarvan al lang bekend is dat het een broodje-aap is. Nobel is nooit getrouwd geweest. De enige vrouw van wie bekend is dat ze een relatie heeft gehad met Nobel was de Weense Sophie Hess. Maar er is geen enkele aanwijzing dat zij ook maar iets heeft gehad met de wiskundige Mittag-Leffler. Niet alleen de liefde maakt blind, onze hang naar liefdesroddels − waar of niet − net zozeer.

Nee, de werkelijke reden dat er geen Nobelprijs voor de wiskunde bestaat, heeft niets te maken met de liefde. Nobel wilde zijn geld nalaten voor “belangrijke ontdekkingen en uitvindingen” in die vijf disciplines die het dichtst bij hem stonden. Daar zat de wiskunde niet bij. Nobel zag de wiskunde niet als een veld dat directe, praktische toepassingen voor de mensheid zou opleveren.

Dat dat laatste niet klopt, blijkt alleen al uit de wiskundigen die een Nobelprijs in een van de andere disciplines hebben gewonnen, meestal de economie, en uit het vaak sterk wiskundig geïnspireerde werk dat werd beloond met de hoogste eer in de natuurkunde. De bekendste wiskundige Nobelprijswinnaar is John Nash, het schizofreen geworden genie dat bij een breed publiek bekend werd door de bestseller A beautiful mind van Sylvia Nasar en de gelijknamige film. 

Nash verwierf faam met zijn speltheoretische werk dat draait om de vraag hoe twee rationele mensen met elkaar zullen onderhandelen. In 1994 ontving hij de Nobelprijs voor economie. 

Een ander beroemd geval is wiskundige Kenneth Arrow. In 1950 bewees Arrow dat het ideale kiesstelsel niet bestaat. Elk kiesstelsel dat voldoet aan de ideale principes van een democratie blijkt winnaars op te kunnen leveren die tegenstrijdig zijn met die ideale principes. Zo won in 1976 de democratische kandidaat Jimmy Carter de Amerikaanse presidentsverkiezingen van zijn republikeinse rivaal Gerald Ford. Ford had eerder de strijd voor de republikeinse presidentskandidatuur gewonnen van Ronald Reagan. Peilingen tijdens de presidentsverkiezingen tussen Carter en Ford gaven echter aan dat als de democraat Carter het direct had moeten opnemen tegen de republikein Reagan, Carter zou hebben verloren van Reagan. In een verkiezingssysteem met meerdere ronden, kan het kennelijk belangrijk zijn in welke volgorde de kiesronden plaatsvinden. Arrow ontving voor zijn overkoepelende sociale keuzetheorie in 1972 de Nobelprijs economie.

De grote wiskundige en filosoof Bertrand Russell won in 1950 de Nobelprijs voor nota bene de literatuur voor “zijn uiteenlopende en invloedrijke geschriften waarin hij op de bres springt voor humanitaire idealen en het vrije denken.” Verder ging een aantal Nobelprijzen in de natuurkunde naar sterk wiskundig geïnspireerd werk: onder andere de bijdragen aan de quantummechanica van Werner Heisenberg (Nobelprijs 1932) en Erwin Schrödinger (1933); de Nobelprijzen in de theoretische deeltjesfysica van Gell-Mann (1969) en Glashow, Weinberg en Salam (1979) waarin symmetrieën een belangrijke rol spelen; en niet te vergeten het Nobelprijswinnende werk van de Nederlandse natuurkundigen ’t Hooft en Veltman (1999) dat het wiskundige fundament legde onder de quantumstructuur van de elektrozwakke wisselwerking, een van de vier fundamentele natuurkrachten.

De wiskundeprijs die decennialang werd beschouwd als het equivalent van de Nobelprijs, is de Fieldsmedaille, uitgereikt sinds 1936. 

Hoewel die vergelijking qua status terecht is, kent de Fieldsmedaille andere spelregels. Ten eerste wordt de prijs niet jaarlijks toegekend, maar alleen eens in de vier jaar. Ten tweede mogen de winnaars niet ouder zijn dan veertig jaar. Dat is de reden dat Andrew Wiles, de Brit die na acht jaar eenzaam werk in 1995 het eeuwenoude vermoeden van Fermat op spectaculaire wijze oploste, naast het net viste. Hij was toen met zijn 42 jaar al te oud voor een Fieldsmedaille. Ten slotte ontvangt de winnaar van de Fieldsmedaille ‘slechts’ tienduizend dollar in plaats van de ruim een miljoen bij een Nobelprijs.

De rijke kruisbestuiving tussen wis- en natuurkunde blijkt trouwens niet alleen uit de Nobelprijzen natuurkunde met een wiskundesmaak, maar ook uit een wiskundeprijs met een natuurkundesmaak. In 1990 won de natuurkundige Edward Witten de Fieldsmedaille voor zijn wiskundige werk in de snaartheorie, een natuurkundige theorie die elementaire deeltjes als trillende snaartjes opvat.

Maar inmiddels is de wiskundeprijs die het meeste lijkt op de Nobelprijs, niet langer de Fieldsmedaille, maar de Abelprijs, sinds 2003 jaarlijks toegekend door de Noorse Academie van Wetenschappen en Letteren. 

Net als de Nobelprijs kent de Abelprijs geen leeftijdsgrens en bedraagt de prijs ongeveer een miljoen dollar. Overigens heeft nog nooit een Nederlander de Fieldsmedaille of de Abelprijs gewonnen.

Wat wiskundigen betreft moet Nederland het op de Olympus vooralsnog doen met twee halve wiskundigen, Jan Tinbergen en Tjalling Koopmans, waarvan de laatste ook nog een tot Amerikaan genaturaliseerde Nederlander was. Koopmans had wis- en natuurkunde gestudeerd aan de universiteiten van Utrecht en Leiden. Onder invloed van Tinbergen, die ook wis- en natuurkunde had gestudeerd, verlegde Koopmans zijn interesse naar de wiskundige economie. In 1940 vluchtte hij naar de vs, waar hij tijdens de Tweede Wereldoorlog de routes van onder militaire bescherming varende scheepskonvooien bepaalde.

Koopmans ontwierp in 1942 een wiskundige methode die optimale routes berekende en generaliseerde deze voor een grotere klasse van economische problemen. In 1975 ontving hij voor zijn werk de Nobelprijs economie. Tinbergen was hem in 1969 voorgegaan met de allereerste Nobelprijs economie, voor zijn grondleggende werk op het terrein van de econometrie, de wiskundige tak van de economie.

Overigens kent het equivalent van de Nobelprijs voor de informatica, de Turingprijs, wel een Nederlandse winnaar met een wiskunde-tint: wiskundige, natuurkundige, maar toch vooral informaticus Edsger Dijkstra in 1972. Dijkstra ontwikkelde onder andere het kortste-pad-algoritme, een efficiënte rekenmethode om de snelste route tussen twee locaties te bepalen. Dit algoritme ligt aan de basis van alle autonavigatiesystemen. 

Ten slotte heeft het Clay Mathematics Institute een miljoen dollar klaar liggen voor degene die een van de nog zes openstaande, in het jaar 2000 geformuleerde, wiskundige millenniumproblemen weet op te lossen. Lauwerkransen genoeg dus voor grote doorbraken in de wiskunde. Voor wie tenminste interesse heeft in meer dan eer alleen. De Rus Grigori Perelman, die het zevende millenniumprobleem oploste, weigerde in 2010 het miljoen, nadat hij in 2006 ook al de Fieldsmedaille had geweigerd. 

Internet

Fieldsmedaille

Abelprijs

Clay Mathematics Institute millenniumproblemen 

Turingprijs

BBC Horizon documentary "Fermat's Last Theorem" (1996)

Dangerous Knowledge

Watch below the wonderful BBC-4 documentary 'Dangerous Knowledge' (2008) about four great mathematicians (well, actually Boltzmann is rather a physicist than a mathematician):

Georg Cantor, Ludwig Boltzmann, Kurt Gödel and Alan Turing.

Cantor and Gödel went insane, Boltzmann and Turing committed suicide...so dangerous the pursuit of knowledge can be.

Part 1 of the documentary:



Part 2:



Part 3:



Part 4:



Part 5:

Oude Sanskrietverzen zingen van wiskunde

De Amerikaanse Kim Plofker plaatst de traditionele Indiase wiskunde voor het eerst ten volle in haar culturele context van kalenderproblemen, astrologie en heilige altaren. Ze ontving afgelopen donderdag de Brouwerprijs 2011, een prestigieuze Nederlandse wiskundeprijs. 

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van zaterdag 16 april 2011

“De wijze koning wiens leger verslagen is, verzamelt de beste raadgevers om zich heen en blijft in alles standvastig; dan verslaat hij de koning wiens leger nog niet vernietigd is...”

Nee, dit is niet het begin van een Grieks of Romeins epos, maar van een Indiaas metrisch vers dat een wiskundige berekening beschrijft. Het vers bezingt hoe je de sinus van een hoek kunt berekenen (de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde). Het werd in het 15e eeuwse India geschreven in het Sanskriet, de heilige taal van de Indiërs.

Nog vóór westerse wiskundigen dit ontdekten, wisten Indiase wiskundigen dat je de sinus van een hoek kunt uitdrukken als een oneindig lange optelsom van steeds kleiner wordende termen. Hoe meer termen je meeneemt, hoe preciezer je de sinus berekent. “Het is een prachtig vers”, zegt de Amerikaanse wiskundige en wetenschapshistorica Kim Plofker. “Het vertelt hoe je de eerste vijf termen van die reeks berekent.”

Plofker is gespecialiseerd in de traditionele Indiase wiskunde zoals die werd bedreven tussen ongeveer 1200 v.Chr. en 1800 n.Chr. in een gebied dat niet alleen het huidige India omvat, maar ook het huidige Pakistan, Nepal, Sri Lanka en een deel van Afghanistan. Na 1800 werd de invloed van de Engelse overheersing van India zo groot dat de traditionele Indiase wiskunde langzaam vervangen werd door de formelere westerse wiskunde. Terwijl wij gewend zijn om de wiskunde te zien als iets wat onafhankelijk is van cultuur, politiek en religie, laat de geschiedenis van de traditionele Indiase wiskunde zien hoe nauw verweven cultuur en wiskundige ontwikkeling kunnen zijn.

Afgelopen donderdag 14 april nam Plofker de Brouwerprijs 2011 in ontvangst tijdens het Nederlands Mathematisch Congres aan de Universiteit Twente. De Brouwerprijs is een prestigieuze Nederlandse wiskundeprijs vernoemd naar een van de bekendste Nederlandse wiskundigen: L.E.J. Brouwer (1881-1966). Sinds 1970 wordt hij elke drie jaar toegekend door het Koninklijk Wiskundig Genootschap (KWG). Dit jaar ging de prijs voor het eerst naar het vakgebied van de geschiedenis van de wiskunde.

Verliefd op Sanskriet 

Zoals vrijwel iedereen, kreeg ook Plofker de wiskunde onderwezen zonder de culturele context waarin ze werd ontwikkeld. Maar tijdens haar wiskundestudie merkte ze dat veel van de vragen die ze had te maken hadden met wetenschapsgeschiedenis. “Ik wilde bijvoorbeeld weten waarom de Grieken dachten dat de cirkel de perfecte geometrische figuur is en waarom ze die perse wilden gebruiken voor de beschrijving van planeetbanen. Maar op zulke vragen kreeg ik geen antwoord.”

Toen ze na haar studie werkte als computerprogrammeur, wilde ze in de avonduren een taal leren. Ze koos een taal waarvan ze het alfabet grappig vond, het Sanskriet. Plofker: “Het Sanskriet bleek het enige rationele alfabet ter wereld te hebben en ook nog eens een hele logische grammatica. Een feest voor iemand met gevoel voor wiskunde. Ik werd verliefd op het Sanskriet. Toen wist ik dat ik verder wilde met zowel de taal als de wetenschapsgeschiedenis.”

In 2009 verscheen van haar hand het boek Mathematics in India, een academisch overzichtswerk van de geschiedenis van de traditionele Indiase wiskunde. Het wordt internationaal gezien als een belangrijke aanvulling op de overwegend Eurocentrische geschiedschrijving van de wiskunde. Plofker: “Voorheen werd de Indiase wiskunde bestudeerd aan de hand van de wiskundige resultaten en methoden, maar niet in een coherente, intellectuele en culturele traditie. Misschien niet zo raar, want die context is moeilijk te begrijpen en je moet ook nog kennis van het Sanskriet hebben. Ik heb de traditionele Indiase wiskunde bestudeerd in de culturele context waarin ze thuis hoort, die van kalenderproblemen, astrologie en heilige altaren.”

Het voor westerlingen merkwaardigste aspect van de traditionele Indiase wiskunde is wel het gebruik van de metrische versvorm. De Indiërs hadden een sterk orale traditie waarin verzen van meester op leerling werden overgedragen. Dat gold voor de heilige teksten van de Veda, maar ook voor wiskundige teksten. Plofker: “Het opschrijven van verzen werd zelfs als verdacht beschouwd. Het ging om het geluid van het Sanskriet. Dat was heilig. De geschreven vorm was maar een slap aftreksel van de gesproken vorm. Voordeel van de versvorm is dat leerlingen gemakkelijker een vers onthouden dan een reeks getallen of een formule. Net zoals wij de vermenigvuldigingstafels uit ons hoofd moeten leren, moest de Indiase wiskundestudent zulke verzen uit het hoofd leren.”

In het Sanskrietvers over de sinusberekening coderen de medeklinkers voor de eerste vijf getallen die je nodig hebt om de sinus via een optelsom van vijf termen te benaderen. In andere Sanskrietverzen kunnen woorden als geheel voor getallen coderen, bijvoorbeeld ‘maan’ of ‘aarde’ voor het getal 1, en ‘hand’ of ‘oog’ voor het getal 2. De meeste Sanskrietverzen over wiskunde zijn echter geen coderingen, maar letterlijke beschrijvingen van een wiskundige berekening. Dat levert dan tekstfragmenten zoals dit op: ‘Nadat de boog en alle eerdere resultaten met het kwadraat van de boog vermenigvuldigd zijn...’

Paradijs voor rekenaars 

De oudste Indiase wiskunde werd tussen 1200 en 600 v.Chr. gebruikt bij het ontwerp van vuuraltaren. Ver voor het begin van onze jaartelling bouwden de Indiërs vuuraltaren om dieren te offeren aan de goden. Ze werden op een strikt geometrische manier ontworpen. Als een offer geen succes had, moest het altaar met een bepaalde factor worden vergroot. Verschillende altaarvormen, bijvoorbeeld in de vorm van een schildpad of een valk, kenden verschillende betekenissen. 

“Om de een of andere onbegrepen reden speelden vormveranderingen in die ontwerpen een belangrijke rol”, vertelt Plofker. “Hoe je met hetzelfde aantal stenen waarmee je een vierkant maakt bijvoorbeeld ook een rechthoek, een cirkel of een trapezium kunt maken. Voor hun altaarontwerpen hadden de Indiërs kennis van de meetkunde nodig, waaronder wat wij nu de stelling van Pythagoras noemen, nog vóór Pythagoras er zijn naam aan gaf.”

Vanaf 600 v.Chr. werd het voorspellen welke hemellichamen waar en wanneer staan de hoofdtaak van de Indiase wiskundigen. De Indiase kalender was niet alleen gebaseerd op de beweging van de zon, zoals onze kalender, maar ook op die van de maan. Zo hadden de Indiërs behalve wat wij nu een gewone dag noemen ook een dag die gebaseerd is op de maanbeweging. Daarvoor namen ze de tijd tussen de ene nieuwe maan en de volgende − ongeveer 29,5 dag − en verdeelden die in dertig delen. Die ‘maandag’ is dus iets korter dan onze gewone dag.

“Vaak waren het deze ‘maandagen’ die een astrologische betekenis hadden”, zegt Plofker. “Het synchroniseren van de op de zon gebaseerde dagen en de op de maan gebaseerde dagen was een paradijs voor rekenaars. Verder speelde in de astrologie ook het voorspellen van zons- en maansverduisteringen en van conjuncties een belangrijke rol.”

Een van de hoogtepunten van de traditionele Indiase wiskunde is de ontdekking dat de sinus, de cosinus en de arctangens geschreven kunnen worden als de optelsom van een oneindige reeks van termen. Deze reeksen werden eind veertiende eeuw ontdekt door Madhava, de stichter van de Kerala-school voor wiskunde en sterrenkunde. “Dat was drie eeuwen voordat ze in Europa door Isaac Newton, Wilhelm Leibniz en James Gregory werden ontdekt”, zegt Plofker.

In plaats van te spreken over de Newton-reeksen voor sinus en cosinus, de Gregory-reeks voor de arctangens en de Leibniz reeks voor π, spreken wiskundigen tegenwoordig steeds vaker over de Madhava-Newton-reeksen, de Madhava-Leibniz-reeks en de Madhava-Gregory-reeks. Tot vreugde van Plofker. “Ik spring niet meteen op als iemand de naam van Madhava zou weglaten, maar als we vasthouden aan de traditie om de eerste ontdekker te noemen, dan is het meer dan terecht dat we de naam van Madhava toevoegen.”

Andere namen van Indiase wiskundigen die we volgens de Amerikaanse wetenschapshistorica zouden moeten kennen, zijn die van Aryabhata en Bhaskara. Allebei waren ze trouwens zowel wiskundige als astronoom. In de vijfde eeuw berekende Aryabhata de bewegingen van de zon, de maan en de planeten. En in de twaalfde eeuw vond Bhaskara onder andere de kleinste geheeltallige oplossingen van de kwadratische vergelijking 61x2 + 1 = y2 (x = 226.153.980 en y = 1.766.319.049). “Een mooi voorbeeld van wiskunde om de wiskunde, zonder een concrete toepassing”, vindt Plofker.

Intuïtie 

Naast deze individuele hoogstandjes heeft de traditionele Indiase wiskunde met twee krachtige en creatieve syntheses een blijvend stempel op de wiskunde gedrukt. Plofker: “De belangrijkste Indiase bijdrage is ongetwijfeld het tientallig positiestelsel dat over de hele wereld wordt gebruikt. Alle getallen drukken we uit in combinaties van de tien symbolen 0 tot en met 9. Er bestonden al eerder tientallige rekenstelsels, maar die gebruikten nieuwe symbolen voor de tientallen en geen combinaties van de cijfers 0 tot en met 9.”

Daarnaast waren de Indiërs de eersten die het getal 0 volledig integreerden in de notatie van getallen en in de wiskunde. Plofker: “Ik weet alleen niet of dat genoeg is om te zeggen dat de Indiërs het getal 0 hebben uitgevonden, zoals wel wordt beweerd. De 0 is namelijk op verschillende manieren op verschillende plaatsen in de wereld al eerder opgedoken. Maar de Indiërs waren zeker de eersten die de 0 in al zijn facetten omarmden.”

Al gebruikten Indiase wiskundigen verzen, is wiskunde uiteindelijk toch niet gewoon wiskunde? Stellingen, bewijzen en formules die overal en altijd gelden. Dat is wel zo, zegt Plofker, maar toch zijn er verschillen tussen de westerse wiskunde en de traditionele Indiase. De westerse traditie is sterk beïnvloed door een manier van denken die teruggaat tot de Griekse wiskundige Euclides, legt ze uit. Dit denken is gebaseerd op axioma’s, stellingen en bewijzen. Centraal hierin staat het stapje voor stapje bereiken van absolute wiskundige zekerheid uitgaande van de axioma’s.

De Indiase wiskunde is volgens Plofker meer een melange van bewijzen, experimenten en intuïtie. “Ze staat misschien wat dichter bij onze natuurlijke, associatieve manier van denken. Niet voor niets spreken de Indiërs over ‘het zien van de waarheid van een wiskundige stelling zoals je een stuk fruit in je hand ziet’. Je ziet de waarheid helder en duidelijk voor je en je hoeft haar niet in stukjes van een bewijs uit elkaar te trekken.”

Kan de huidige wiskunde nog iets leren van de traditionele Indiase wiskunde of is ze vooral in historische en culturele context interessant? Plofker: “Het lijkt er op dat de huidige wiskunde zich niet meer alleen vastklampt aan de strenge Euclidische aanpak. Dat zie je bijvoorbeeld in het gebruik van de computer bij wiskundige bewijzen, iets wat traditionele wiskundigen verafschuwen. De computer heeft de vraag wat als een wiskundig bewijs geldt een nieuwe dimensie gegeven. Maar ik wil benadrukken dat het stereotype idee dat de westerse wiskunde rigoureus en exact is en de Indiase wiskunde informeel en luchtig, echt verkeerd is. Ook de Indiërs kenden bewijzen. Wel kun je zeggen dat de traditionele Indiase wiskunde meer open stond voor verschillende manieren van experimenteren en bewijzen dan de westerse wiskunde.”

[Kader:] CV

Kim Plofker tijdens de uitreiking van de Brouwerprijs 2011 (Fotocredit: Herjan Treurniet, Universiteit Twente)


Kim Plofker (47) studeerde wiskunde en promoveerde in 1995 bij de vooraanstaande Amerikaanse wetenschapshistoricus David Pingree (Brown University) in de geschiedenis van de wiskunde. Na haar promotie werkte ze als onderzoeker achtereenvolgens aan Brown University, Massachusetts Institute of Technology (MIT) en tussen 2004 en 2006 gelijktijdig aan de Universiteiten van Utrecht en Leiden. Sinds 2007 werkt ze aan Union College in Schenectady, gelegen in de Amerikaanse staat New York.

Een bank als aardbeving bekijken

Dit artikel is gepubliceerd in NRC Handelsblad van donderdag 14 april 2011.

De Universiteit Leiden verbreedt de opleiding natuurkunde met meer maatschappijgerichte vakken. Bijvoorbeeld met het derdejaars keuzevak econofysica. De universiteit heeft er in maart speciaal een universitair docent voor aangetrokken, de Italiaanse natuurkundige Diego Garlaschelli (33). In mei en juni geeft Garlaschelli college econofysica. De bedoeling is dat hij doorgroeit naar de eerste Nederlandse hoogleraar econofysica.

Wat is econofysica?

“Econofysica is het toepassen van een natuurkundige manier van kijken, bijvoorbeeld via statistische fysica en netwerktheorie, op complexe economische systemen. Econofysica past in een lange traditie die in Nederland al terug gaat tot de natuurkundige en latere Nobelprijswinnaar economie Jan Tinbergen. In Amerika kreeg dit vakgebied halverwege de jaren negentig zijn naam. In Italië, waar ik vandaan kom, bestaat het al enige tijd. In Nederland is het nieuw.”

We hebben al financiële wiskunde, financiële statistiek en econometrie. Is econofysica niet oude wijn in nieuwe zakken?

“Ik ben zelf niet zo blij met de naam econofysica, maar het vakgebied is veel breder dan financiële statistiek. Wij bestuderen niet alleen financiële systemen maar bijvoorbeeld ook netwerken van bedrijven, banken of landen die met elkaar handel drijven. Het basisidee van de econofysica is om, net als in de natuurkunde, inzichten te krijgen uit de gegevens die de wereld om ons heen levert. Econofysica kan dan wel geen experimenten doen, maar dat kunnen astronomen of geofysici die aardbevingen bestuderen ook niet. Econofysica gebruikt dus observatiedata in plaats van experimentele data.”

Dat doen economen toch ook?

“Mijns inziens te weinig. Economen postuleren vaak het gedrag van een individu en proberen dan wiskundige wetten af te leiden voor een groot geheel van individuen. Econofysici kijken eerst naar de data zonder vooraf iets aan te nemen. Econofysica heeft niet als doel om de economie te vatten in de meest geavanceerde formules, maar om verschillende typen van onderliggend gedrag te onderscheiden op basis van die data.”

De econoom Paul Ormerod zei in een kritisch Nature-artikel over econofysica dat de natuurkundige manier van kijken in de economie een handicap is omdat verschillende mensen verschillend handelen op verschillende tijdstippen en verschillende plaatsen. Wat vind je van die kritiek?

“Ik ben het er deels mee eens. Natuurkundigen hebben zeker de neiging om te zoeken naar universele regels. Mensen zijn echter geen biljartballen die zich overal en altijd hetzelfde gedragen. Natuurkundigen moeten zich er van bewust zijn dat hun modellen menselijk gedrag beschrijven dat onderhevig is aan psychologische en sociale processen. Maar daar staat tegenover dat economen niet het vooroordeel moeten hebben dat alleen zij economische systemen mogen en kunnen bestuderen. De natuurkundige manier van kijken, ontwikkeld voor niet-levende systemen, kan wel degelijk ook op levende systemen worden toegepast. Kijk maar naar de biofysica. In de afgelopen tien jaar heeft de biofysica nieuwe inzichten opgeleverd over biologische systemen.”

En welke nieuwe inzichten heeft econofysica al opgeleverd?

“Standaard economische theorieën nemen vaak het gemiddelde als representatief voor het geheel. Econofysica laat duidelijk zien dat individuele eenheden in een economisch model − bijvoorbeeld de koers van een aandeel, het inkomen of de export van een bedrijf − onderhevig zijn aan grote fluctuaties. Deze fluctuaties zijn zo groot dat het gemiddelde niets zegt over het gedrag op grote schaal, net zoals het gemiddelde inkomen in een land niets zegt over het brede spectrum van wat burgers werkelijk verdienen.”

De kredietcrisis heeft onder andere de zwakheden van wiskundige financiële modellen blootgelegd. Kan econofysica het beter doen?

“De kredietcrisis heeft laten zien hoe traditionele economische theorieën kunnen falen. Econofysici hebben recent de eerste analyses gemaakt van hoe banken met elkaar zijn verknoopt. Dan zien we een netwerk waarin sommige banken heel veel verbindingen hebben en andere heel weinig. Het gemiddelde aantal verbindingen van een bank zegt niets, terwijl economen typisch dat gemiddelde gebruiken. Econofysici bestuderen wat dit type netwerk betekent voor hoe en hoe snel een bank die failliet gaat de rest van het netwerk beïnvloedt. De inzichten die daaruit volgen kunnen we gebruiken voor beter risicomanagement.”

Je aanstelling wordt gefinancierd door een bedrijf [Duyfken Trading Knowledge BV., een bedrijf dat handelt in obligaties, opties en futures]. Hoe onafhankelijk kun je zijn in je onderwijs en onderzoek?

“Het bedrijf betaalt de universiteit en de universiteit betaalt mij. Mijn contract met de universiteit is hetzelfde als dat van andere wetenschappers die via zo'n tenure-track-contract kunnen doorgroeien naar hoogleraar. Het contract waarborgt mijn onafhankelijkheid. Het bedrijf laat me vrij in mijn onderzoek en onderwijs en alleen de universiteit beoordeelt mijn prestaties. Daar heb ik tijdens de sollicitatieprocedure ook expliciet naar gevraagd en die onafhankelijkheid werd bevestigd. Trouwens, nadat het contract afloopt, wil de universiteit zelf de financiering voortzetten.”

Mathematics forever - in stone

"Papyrus, parchment, paper ... videotape, DVDs, Blu-ray discs — long after all these materials have crumbled to dust, the first recording medium of all, the cuneiform clay tablet of ancient Mesopotamia, may still endure."

YBC 7289 is a small clay disc containing a rough sketch of a square and its diagonals. Across one of the diagonals is scrawled 1,24,51,10 — a sexagesimal number that corresponds to the decimal number 1.4142129, an approximation of the square root of 2. Below is the answer to the problem of calculating the diagonal of a square whose sides are 0.5 units. This bears on the issue of whether the Babylonians had discovered Pythagoras’s theorem some 1,300 years before Pythagoras did. Credit: Yale Babylonian Collection.

Read more about the exhibition 'A culture in mathematics' in this New York Times-article.

Watch the slide show of beautiful clay tablets.

Op de Elfstedenbrug is: 700 x 5 = 5

Zou het waar zijn? Komt er weer een Elfstedentocht? Hopelijk schaatsen de nummer één en twee van 1997, Henk Angenent en Erik Hulzebosch, mee. Een brug met vijf schaatsers ligt al op ze te wachten. Of zijn het er 3.500?

                                           Foto's: Alex Prooper

Dit artikel is verschenen in NRC Handelsblad van 27 november 2010

Wie hoopt er niet op een Elfstedentocht deze winter – voor het eerst sinds 1997? Als die er komt, dan zullen de rijders onder een bijzondere brug door schaatsen. Het is de laatste brug voor de finish in Leeuwarden en hij staat hierboven op de foto.

We zien vijf schaatsers achter elkaar. Maar wacht even. Komen we dichterbij, dan zien we allemaal kleine fotootjes van schaatsers. De grote foto is een mozaïek van meer dan 3.500 kleine fotootjes. Allemaal doorzetters die ooit de finish van de Elfstedentocht hebben gehaald. 

Hoe weet je nu waar je de kleine foto’s moet plaatsen om precies de grote foto van vijf schaatsers te krijgen? Kunstenaar en softwareontwikkelaar Alex Prooper heeft dat uitgezocht met wiskunde op de computer. Vorige week zaterdag vertelde hij het geheim tijdens de jaarlijkse bijeenkomst over kunst en wiskunde. Kunstenaars bespreken daar hoe ze wiskunde gebruiken om kunstwerken te maken.

Prooper begon met de foto van de vijf schaatsers. Die verdeelde hij in vele duizenden vierkantjes. Pixels in computertaal. Elk beeld op je computerscherm is opgebouwd uit zulke pixels: sommige zijn donker, andere zijn licht. Samen zorgen ze zo als puzzelstukjes voor het beeld.

Prooper liet zijn computer uitrekenen hoe licht of donker een pixel van de grote foto gemiddeld is. De grote foto bestaat echter uit veel meer pixels bestaat dan er kleine fotootjes waren. Anders gezegd: een klein fotootje van een schaatser is nog altijd veel groter dan een pixel. Daarom liet hij de computer elk klein fotootje opdelen in acht bij acht (64 dus) kleine stukjes. Ook voor elk van die kleinere stukjes liet hij de computer uitrekenen hoe licht of donker het is. Toen was het probleem bijna opgelost. Nu hoefde de computer alleen nog maar uit te rekenen welke fotootjes van een schaatser steeds het beste paste bij elk groepje pixels van de grote foto. Klaar was Kees. 

“Ik kan niet schilderen,” zegt Prooper, “maar ik ben wel goed met computers. De computer is mijn kwast en daar maak ik kunst mee.” Hij heeft zijn fotokunstwerken de Engelse naam ‘photile’ gegeven, wat je uitspreekt als ‘fotajl’. De kunstenaars Maree Blok en Bas Lugthart hebben het computerontwerp van Prooper gebruikt om het Elfstedenmonument in 2001 op de brug te maken Van elk klein fotootje hebben zij een Delfts-blauw tegeltje laten maken, met daarop de naam van de schaatser. Een tegelzetter heeft alle tegeltjes daarna op de brug vast gemaakt.

Nu moet de mozaïekbrug alleen nog wachten op de eerste Elfstedenschaatsers.

Benoit Mandelbrot, father of fractal geometry, dies at 85

“Bottomless wonders spring from simple rules repeated without end.” 

                         Benoit Mandelbrot, father of fractal geometry

                                                 The beautiful Mandelbrot fractal

Watch here Benoit Mandelbrot's talk at TED 2010:



Read more in The New York Times

Sanskrietverzen zingen de wiskunde

Dit artikel is gepubliceerd in NWO Hypothese van augustus 2010

Het boek Mathematics in India plaatst de traditionele Indiase wiskunde voor het eerst ten volle in een culturele context van kalenderproblemen, astrologie en heilige altaren.

“De wijze koning wiens leger verslagen is, verzamelt de beste raadgevers om zich heen en blijft in alles standvastig; dan verslaat hij de koning wiens leger nog niet vernietigd is...”

Nee, dit is niet het begin van een Grieks of Romeins epos. Dit is het begin van een Indiaas vers dat een wiskundige berekening beschrijft. Het bezingt hoe je de sinus van een hoek kunt berekenen, in de moderne wiskunde de verhouding tussen de overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde. Het werd in het 15e eeuwse India geschreven in het Sanskriet, de heilige taal van de Indiërs. Nog vóór westerse wiskundigen dit ontdekten, wisten de Indiërs dat je de sinus van een hoek kunt uitdrukken als een oneindig lange optelsom van steeds kleiner wordende termen. Het vers codeert in letters vijf ingewikkelde getallen die je nodig hebt om de sinus via zo’n optelsom te benaderen.

“Wij beschouwen onze westerse vorm van wiskunde als vanzelfsprekend, maar dat is hij niet”, zegt Jan Hogendijk, hoogleraar geschiedenis van de wiskunde aan de Universiteit Utrecht. En de Indiase verzen illustreren dat prachtig. “De Indiërs hadden een sterk orale traditie. Verzen zijn gemakkelijk te onthouden, veel gemakkelijker dan bijvoorbeeld een reeks ingewikkelde getallen. Ze werden van meester op leerling doorverteld. Wiskundeverzen gaan heel anders met wiskundeproblemen om dan wij op school leren. De traditionele Indiase wiskunde was meer associatief dan de onze. Ze kende niet de formele vorm van ‘stelling-bewijs’ waarmee de Grieken de westerse wiskunde hebben doordrenkt.”

Rituelen

Maar zelfs al kun je Sanskriet lezen, hoe herken je zo’n vers als wiskunde? Daarvoor moet je behalve over een flinke Sanskrietkennis, ook over flink veel kennis beschikken van de Indiase culturele geschiedenis en van de wiskunde. De Amerikaanse wiskundige en Indologe Kim Plofker heeft precies die academische achtergrond. Hogendijk trok haar daarom aan om tussen 2004 en 2006 in het NWO-project MATHINDI een synthese te schrijven van de bestaande literatuur en haar eigen onderzoek aan Sanskrietteksten. Het project mondde vorig jaar uit in het kloeke academische boek Mathematics in India, dat internationaal wordt gezien als een belangrijke aanvulling op de overwegend Eurocentrische geschiedschrijving van de wiskunde.

Plofker bestudeerde de periode 500 v.Chr. tot 1800 n.Chr.. “Vrijwel alles wat tot voor kort over de Indiase wiskunde uit die tijd is geschreven”, zegt Hogendijk, “liet alleen zien welke wiskunde er werd gebruikt, maar nauwelijks in welke culturele context. Plofker heeft de Indiase wiskunde juist ten volle in haar culturele context bestudeerd.”

Die context werd vooral gevormd door de sterrenkunde. Voor het uitvoeren van religieuze rituelen moesten de Indiërs berekenen wanneer in het kalenderjaar het juiste moment was aangebroken. Daarnaast gebruikten ze de wiskunde in de astrologie, om uit de beweging van de planeten iets te zeggen over het aardse leven. En voor het ontwerpen van heilige altaren met ingewikkelde geometrische patronen hadden ze de meetkunde nodig.

De belangrijkste Indiase bijdrage aan de wiskunde is het tientallig positiestelsel. Iedereen ter wereld komt het dagelijks tegen. Hogendijk: “Blindelings drukken we getallen uit in combinaties van de tien symbolen 0, 1, ....9. De Indiërs introduceerden dit handige systeem tussen 0 en 500 n.Chr.. Tientallige rekenstelsels werden weliswaar al eerder gebruikt, maar altijd met nieuwe symbolen voor de tientallen, en geen combinaties zoals 10, 20, enz. van de symbolen 0 tot en met 9. Het Indiase systeem is uiteindelijk in de praktijk superieur gebleken aan alle andere systemen. Maar dat werd pas in de 15e eeuw in Italië duidelijk.”

Een tweede belangrijke, nog steeds gebruikte bijdrage van de Indiase wiskunde uit die tijd is de introductie van de sinus en cosinus. Deze begrippen spelen een belangrijke rol in de tak van de wiskunde die zich bezig houdt met driehoeksmetingen. De Indiërs maakten er een kunst op zich van om het rekenen met sinussen en cosinussen in verzen uit de drukken.

Wiskunde voor de lol

Uit Plofkers studie blijkt ook dat de Indiërs zich bezig hielden met wiskundeproblemen voor de lol, waarvan ze geen enkele toepassing kenden. Hogendijk: “Een beroemd voorbeeld is het raadsel om twee kwadraten te vinden, die wij nu x^2 en y^2 zouden noemen, zodanig dat ‘61 maal het ene plus een gelijk is aan het andere’: 61x^2 + 1 = y^2. In de 12e eeuw vond Bhaskara met een slimme methode de oplossing x = 226.153.980 en y = 1.766.319.049. Dit blijkt de kleinste geheeltallige oplossing te zijn.”

Bladzijde uit het Arabische manuscript Leiden, Or. 168 (11e eeuw), een van de oudste bewaarde documenten uit de Islamitische wereld waarin het tientallige positiestelsel wordt gebruikt.

Plofker bestudeerde ten slotte ook nog de invloed die de Indiase wiskunde heeft gehad op de Arabische wiskunde. Hogendijk: “De Indiase wiskunde kwam via uitwisseling met Iran in de Arabische wereld terecht. De Arabieren namen bijvoorbeeld het tientallig positiesysteem van de Indiërs over. Vervolgens creëerden zij hun eigen mengeling van Griekse en Indiase wiskunde. Zo kenden de Indiërs bijvoorbeeld een methode om de oppervlakte te berekenen van een vierhoek waarvan de hoekpunten precies door een cirkel omschreven worden. Die methode werd ook weer in versvorm uitgelegd. Maar de Arabieren waren meer gecharmeerd van de formele cultuur van ‘stelling-bewijs’ die ze van de Grieken kenden. Daarom verzonnen ze voor dezelfde methode een geniaal formeel bewijs.”

Na 1800 werd de invloed van de Engelse overheersing van India zo groot dat de traditionele Indiase wiskunde langzaam vervangen werd door de formelere westerse wiskunde. Zonder leraren om uit te leggen hoe je de wiskundeverzen moest lezen, bleek die traditie ten dode opgeschreven. Plofkers studie vult een grote lacune in ons begrip van de traditionele Indiase wiskunde op, ontmaskert mythen over de uniciteit en superioriteit van enkele Indiase wiskundige bijdragen, maar laat vooral ook zien hoe wiskunde diep geworteld kan zijn in de cultuur van een gebied.

Boek

Mathematics in India, Kim Plofker. Princeton University Press (2009)

Beeldwiskunde doorziet de mens

Voor een computer is het interpreteren van een beeld een van de moeilijkste opgaven. Vici-onderzoeker Luc Florack ontwikkelde een wiskundige beeldbeschrijving die automatische beeldinterpretatie flink vereenvoudigt.

[Dit artikel is gepubliceerd in IO Magazine Juni 2010 Het nummer is gratis te downloaden door op de link te klikken.]

Spiervezelrichting in de hartspier, bepaald met Diffusie MRI.

Het hart is hier transparant weergegeven, spiervezels zijn voor een bepaald

gebied ingetekend.

Credit: Onderzoeksgroep Biomedical Image Analysis, BMT, TU/e

Een modern ziekenhuis staat vol met hightechapparatuur voor het scannen van hersenen, hart, longen, darmen, prostaat, borsten en wat al niet meer van het menselijk lichaam. Ongeveer tachtig procent van alle medische diagnoses is gebaseerd op beeldvorming en maar liefst eenderde van het ziekenhuisbudget vloeit hier naar toe.

Door al dat scannen verzamelt een ziekenhuis jaarlijks een digitale databerg van al snel tientallen terabytes (een terabyte is 10^12 byte). Dat is een stapel van enkele duizenden volgeschreven dvd’s. Omdat de beeldstapel alleen maar zal groeien, neemt de noodzaak toe om in ieder geval een deel van de beeldinterpretatie te automatiseren.

Dat is gemakkelijker gezegd dan gedaan. Mensen zijn goed en snel in het interpreteren van beelden. Ons visuele systeem heeft daar wel miljoenen jaren van evolutie voor nodig gehad. Voor een computer is het interpreteren van een beeld razend moeilijk. In essentie komt dat doordat beeldinterpretatie zeer lastig in regels is te vangen. Enerzijds is nog veel onbekend over hoe ons brein beelden interpreteert en dus kunnen we de interpretatieregels van het brein ook niet zomaar op een computer programmeren. Anderzijds zijn medische beelden heel anders dan alledaagse beelden, waardoor interpretatie alleen mogelijk is door een goed getrainde specialist. En zelfs hij kan zijn beeldinterpretatie ook moeilijk in regels vangen.

Schaalproblemen

Luc Florack van de faculteit Wiskunde & Informatica van de TU Eindhoven (TU/e) ontving eind 2004 van NWO een Vici-beurs van 1,25 miljoen euro om de computer bij die beeldinterpretatie een handje te helpen. Van het geld kon hij behalve zichzelf, ook twee promovendi en drie postdocs betalen. Dit jaar loopt het Vici-onderzoek af. “Het doel was om te zoeken naar een zo algemeen mogelijke wiskundige beeldbeschrijving”, vertelt Florack. “Een beeldbeschrijving die zich niet van te voren vastlegt op een bepaalde schaal.”

Een beeld kent allerlei schalen. De kleinste schaal wordt bepaald door een enkel pixel; de grootste door het beeldkader, de randen van het beeld. Nu is de pixelgrootte een keuze, geen intrinsieke eigenschap van het origineel. En de pixelwaarde, het getal dat met het pixel correspondeert, verandert al naar gelang de pixelgrootte. Het is een gemiddelde van de beeldinformatie die toevallig binnen de gekozen pixelgrootte valt.

Daarnaast kent een beeld ook lengteschalen die te maken hebben met de voorwerpen in het beeld. Als we weten wat er op het beeld staat, hart of hersenen bijvoorbeeld, dan kunnen we ook typische lengteschalen van bijvoorbeeld de hartkamers of de hippocampus (een geheugenstructuur) onderscheiden. Wat we in een beeld zien, hangt af van hoe we er naar kijken en op welke schaal.

A priori bestaat er geen enkele voorkeur voor een bepaalde schaal. “Voor een computer zou het daarom handig zijn”, aldus Florack, “om een algemene methode te hebben waarbij de beeldinterpretatie zo min mogelijk afhangt van toevallige keuzes. Het zoeken was dus naar schaalonafhankelijke wiskundige manieren om een beeld te beschrijven, een manier die alle schalen als gelijk beschouwt. Daar was weinig onderzoek naar gedaan. Het meeste beeldvormingsonderzoek is sterk toepassingsgericht: top-down. Wij zijn ervan overtuigd dat fundamenteel gedreven, bottom-up-onderzoek ook noodzakelijk is. De wis- en natuurkunde hebben allerlei generieke methoden ontwikkeld die ook heel nuttig zijn in de beeldbewerking, maar die in toepassingsgericht onderzoek zelden worden gebruikt.”

Objectherkenning

Bestaande schaalonafhankelijke beeldbeschrijvingen waren vooral op specifieke toepassingen gericht en wiskundig niet waterdicht onderbouwd. Florack en zijn collega’s onderzochten een aantal van die beschrijvingen en legden er verbanden tussen. “Zo hebben we een overkoepelend, universeler model gebouwd”, legt de TU/e-onderzoeker uit, “waarvan de bestaande technieken speciale gevallen zijn.”

Het overkoepelende model heeft parameters die je al naar gelang de toepassing kunt variëren. Het model is onafhankelijk van pixelgrootte en ook onafhankelijk van translaties, rotaties en schaal van een voorwerp in het beeld. Aan elk punt in een beeld hebben de onderzoekers als het ware een dimensie toegevoegd. Dat is de schaalcoördinaat. Bij elke schaal hoort dan een eigen beeld. In zo’n uitgebreidere meerdimensionale ruimte wordt vervolgens gezocht naar bijzondere punten. Die vormen het wiskundige gereedschap om de structuur van een beeld schaalonafhankelijk te beschrijven.

Hoe goed werkt deze schaalonafhankelijke beschrijving? Daarvoor vertaalden de onderzoekers hun wiskundige model in een computeralgoritme en voerden ze een test uit. De software moest een complex object uit een database proberen te herkennen in een foto met tal van andere objecten. Als voorbeeld namen ze een bekend tijdschrift in een stapel tijdschriften die elkaar deels overlappen. Die herkenning wordt verder ook nog belemmerd door perspectivische vervorming, ruis, belichting, positie, schaal, oriëntatie en verstorende contextinformatie. De herkenning lukte, zelfs wanneer een tijdschrift voor meer dan tachtig procent verborgen lag onder andere tijdschriften. Florack: “We zijn hierbij voor het eerst op basis van wiskundig goed begrepen principes dicht in de buurt van state of the art-technieken van objectherkenning gekomen en in sommige gevallen hebben we deze zelfs overtroffen. Dit laat zien dat ons concept in principe werkt.”

Credit: Onderzoeksgroep Biomedical Image Analysis, BMT, TU/e

Het herkennen van een object uit een database in een andere context is maar een van de mogelijke toepassingen van schaalonafhankelijke beeldbeschrijving. Andere toepassingen zijn bijvoorbeeld een diagnosehulpmiddel waarbij de computer de medisch specialist ondersteunt of een visueel hulpstuk om een chirurg te helpen preciezer te kunnen zien hoe en waar hij opereert.

Een beeld is veel meer dan de som van zijn pixels. De beeldwiskunde van Florack en zijn collega’s zoekt daarom steeds naar het beeldverhaal dat de pixels niet vertellen. Hoewel het Vici-project dit jaar afloopt, zet Florack zijn onderzoekslijn voort in een nieuw multidisciplinair onderzoeksprogramma dat de TU/e dit jaar gaat opzetten (zie kader).

[Kader:]

TomTom voor hersenen en hart

Afgelopen februari maakte de TU/e bekend dat het voor de komende vier jaar een miljoen euro investeert in onderzoek naar medische beeldvorming van het hart en de hersenen. Imaging Science & Technology (IST/e) heet het project. Florack: “Dit project moet een sterke link krijgen met de fundamentele problemen bij beeldvorming en beeldverwerking. Tegelijkertijd laten we ons daarbij inspireren door biomedische toepassingen. Daarmee onderscheiden we ons van veel andere groepen in de wereld, die zich vooral richten op de technologie en de klinische toepassingen maar nauwelijks op de onderliggende fundamentele beeldbeschrijvingsproblemen.”

Het beeldvormingsonderzoek bestaat uit vier subthema’s: wiskundige beeldverwerking, biomedische beeldverwerking, visualisatie en beeldvorming. En allemaal gericht op hart en hersenen. Dat komt omdat de nieuwste ontwikkelingen in de beeldvorming van hart en hersenen precies het soort fundamentele problemen met zich meebrengt waarmee Florack en zijn Eindhovense collega’s veel ervaring hebben.

Bij de hersenen gaat het om beelden van de zenuwbanen (witte stof) die hersencellen (grijze stof) met elkaar verbinden. Traditionele beeldvormingstechnieken brengen die zenuwbanen niet in beeld; de relatief nieuwe techniek Diffusie MRI wel. Hersenonderzoekers willen die techniek inzetten bij onder andere de diagnose en behandeling van neurodegeneratieve aandoeningen zoals Parkinson en dementie. Bij het hart gaat het om het detecteren van bewegingsafwijkingen die een voorspeller kunnen zijn van een hartinfarct. Traditionele MRI is vooral gericht op een analyse van vorm en grootte van de hartkamers.

“Nieuwe beeldvormingstechnieken voor hart en hersenen leveren beelden met een hoogdimensionaal karakter waarvan je je geen visuele voorstelling meer kunt maken”, zegt Florack. “Pixels zijn dan geen getallen meer, maar wiskundige functies. Dan ben je gedwongen om de interpretatie van de beelden op een abstracte manier aan te pakken. En dat kan met methoden zoals wij die in het Vici-programma van de afgelopen jaren hebben ontwikkeld.”

In het IST/e-programma gaan de TU/e-faculteiten Wiskunde & Informatica en Biomedische Technologie samenwerken met het bedrijfsleven (Philips Healthcare en Philips Research) en met medische centra (Maastricht Universitair Medisch Centrum, Leids Universitair Medisch Centrum, Catharina Ziekenhuis en het Máxima Medisch Centrum). “Tot nu toe was die samenwerking ad hoc”, vertelt Florack. “Het nieuwe programma stelt ons structureel in staat om wiskundige, computationele, fysische en biomedische invalshoeken te combineren.”